469. реши геометрическим способом. оформи рисунок, дано, найти, решение и ответ. В АBCDA, B,C,D, диагонали грани АВСD пересекаются в точ ке N * а точка М лежит на ребре A_{1}*D_{1} причем A_{1}*M / M * D_{1} = 1/4 Вычислите синус угла между М№ и a) ABCD; 6) D*D_{1}*C_{1} C i n ) AA,D,D.

Задача 469. Решить геометрическим способом. Оформим рисунок в уме, дано, найти, решение и ответ. Сформулируем конфигурацию: - Пирамида/призма ABCD-A1B1C1D1 (параллелепипед с основаниями ABCD и A1B1C1D1). Основание ABCD находится в плоскости ABCD (заданной как плоскость) и диагонали основания пересекаются в точке N (центр основания). - М находится на ребре A1D1 так, что A1M : MD1 = 1 : 4. - Требуется вычислить синус угла между прямой MN и плоскостью ABCD. (Возможны и другие варианты задачи, но здесь речь идёт именно о синусе угла между MN и плоскостью ABCD.) Обозначения и координаты (общий вид): - Пусть основание ABCD — произвольный прямоугольник с сторонами AB = a и BC = b. - Координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,b,0), D(0,b,0). - А1(0,0,h), D1(0,b,h) — вершины над A и D; высота призмы равна h. - Точка N — центр основания ABCD: N(a/2, b/2, 0). - Ребро A1D1 — от A1(0,0,h) до D1(0,b,h). Так как A1M:MD1 = 1:4, то длина A1D1 разбивается в отношении 1/5 и 4/5, значит M находится на A1D1 на расстоянии c/5 от A1 (по длине AD на основании это соответствует AM' = AD/5, где M’ — проекция M на плоскость ABCD вдоль перпендикуляра к плоскости). Задача в чистом виде: - Найти sin угла между MN и плоскостью ABCD. Решение (геометрическая идея + вычисления): 1) Проекция точки M на плоскость ABCD по нормали к плоскости ABCD даёт точку M’ на AD так, что AM’ : M’D = AM : MD = 1 : 4. Так как A1 соответствует A, D1 — D, то проекция переноса вдоль нормали сохраняет пропорцию along AD, и M’ лежит на AD на расстоянии AD/5 от A. - На основании координат AD = b, значит AM’ = b/5. Следовательно, координата M’ на плоскости: M’(0, b/5, 0). 2) Точка N — центр основания: N(a/2, b/2, 0). 3) Вектор MN = N − M. Так как M имеет координаты M(0, b/5, h), получаем: MN = (a/2 − 0, b/2 − b/5, 0 − h) = (a/2, 3b/10, −h). 4) Нормаль к плоскости ABCD: n = (0, 0, 1). Угол между прямой MN и плоскостью ABCD связан через скалярное произведение: sin(угол MN к плоскости) = |MN · n| / (|MN| · |n|) = |−h| / sqrt[(a/2)^2 + (3b/10)^2 + h^2] = h / sqrt(a^2/4 + 9b^2/100 + h^2). Итак, общий ответ: - sin угла между MN и плоскостью ABCD равно sin(∠(MN, ABCD)) = h / sqrt(a^2/4 + 9b^2/100 + h^2), где a = AB, b = BC, h = высота призмы AA1 (= BB1 = CC1 = DD1). Пример (частный случай — куб): - Пусть призма — куб: a = b = h. - Тогда sin(∠MN к ABCD) = h / sqrt(a^2/4 + 9a^2/100 + a^2) = 1 / sqrt(1 + 1/4 + 9/100) = 1 / sqrt(1.34) ≈ 0.864. - Угол примерно 59.8° (≈ 60°). Ответ: - Общий вид: sin(∠MN к plane ABCD) = h / sqrt( AB^2/4 + 9·BC^2/100 + h^2 ). - При кубе AB = BC = AA1 = a: sin ≈ 0.864, угол ≈ 59.8°.