Дано: прямая трапеция ( bases параллельны ), меньшая основа = 10. Пусть:
- нижняя (большая) основа AB = L,
- верхняя (меньшая) основа CD = S = 10,
- высота трапеции h,
- левый бок AD перпендикулярен основаниям (прямой трапеции), правый бок BC — наклонная.
Установим координаты: A = (0, 0), B = (L, 0), D = (0, h), C = (S, h).
Шаг 1. Диагонали взаимо перпендикулярны.
Диагонали AC и BD перпендикулярны, значит их векторное произведение нулю через скалярное произведение:
AC = (S, h), BD = (-L, h).
Скалярное произведение: (S, h) · (-L, h) = -SL + h^2 = 0 ⇒ h^2 = S L.
Поскольку S = 10, получаем h^2 = 10 L. …(1)
Шаг 2. Угол между большей диагональю и меньшей боковой стороной равен 60°.
Большая диагональ BD имеет вектор (-L, h). Малая боковая сторона AD имеет вектор (0, h). Косу угла между ними:
cos θ = (BD · AD) / (|BD| |AD|) = ((-L, h) · (0, h)) / (√(L^2 + h^2) · h) = h^2 / (h√(L^2 + h^2)) = h / √(L^2 + h^2).
Дано θ = 60°, значит cos 60° = 1/2. Получаем:
h / √(L^2 + h^2) = 1/2 ⇒ L^2 + h^2 = 4 h^2 ⇒ L^2 = 3 h^2. …(2)
Шаг 3. Совместим равенства (1) и (2).
Из (2) следует h^2 = L^2 / 3. Подставим в (1):
L^2 / 3 = 10 L.
Если L ≠ 0, делим на L: L / 3 = 10 ⇒ L = 30.
Следовательно, большее основание трапеции равно 30. Можно дополнительно найти высоту: h^2 = L^2 / 3 = 900 / 3 = 300 ⇒ h = 10√3, и проверка даёт согласие с условиями (cos 60° и перпендикулярность диагоналей).
Ответ: большее основание трапеции равно 30.
