в равнобедренный трапеции основания равны 3 и 5 см, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45 найдите площадь этой трапеции
Задача: равнобедренная трапеция с основаниями AB = 5 см и CD = 3 см, боковые стороны AD и BC равны. Один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найти площадь.
Пошаговое решение:
Обозначим трапецию так, чтобы AB – основание снизу длиннее, CD – сверху короче. Пусть AB = 5 см, CD = 3 см. Высота трапеции обозначим h. Боковые стороны AD и BC равны.
Разложим разницу оснований на две симметричные части по бокам. Пусть расстояние от конца основания AB до конца основания CD по каждому краю равно x. Тогда 5 − 3 = 2, значит x = 1 см.
В образовавшемся прямоугольном треугольнике на левом краю (вертикальная высота h и горизонтальный отрезок x = 1) угол при базе AB между AB и боковой стороной AD равен 45°. В этом треугольнике тангенс угла равен противоположной стороны к соседней: tan(45°) = h / x.
Подставляя x = 1 и tan(45°) = 1, получаем h = x · tan(45°) = 1 · 1 = 1 см.
Площадь трапеции вычисляется как S = (сумма оснований) · высота / 2 = (AB + CD) · h / 2 = (5 + 3) · 1 / 2 = 8 / 2 = 4 см².
Ответ: площадь трапеции равна 4 см².
Дополнительно: если захотеть учесть общую формулу, для любой такой трапеции S = ((a + b)/2) · h, где h = ((a − b)/2) · tan α, при α = 45° даёт те же результаты.
