2х+8у-z=8 6x-y+3z=11 2x-3y+z=1 решить систему уравнений методом крамара

Задача: решить систему 2x + 8y − z = 8 6x − y + 3z = 11 2x − 3y + z = 1 методом Крамера (Крамера).

1. Запишем коэффициентную матрицу A и вектор свободных членов b: A = [ 2 8 −1 ] [ 6 −1 3 ] [ 2 −3 1 ]

b = [8, 11, 1]^T

2. Вычислим детерминат Δ матрицы A: Δ = det(A)

Вычислим через разложение по первой строке:

• M11 = det([[-1, 3], [-3, 1]]) = (-1)1 − 3(−3) = 8
• M12 = det([[6, 3], [2, 1]]) = 61 − 32 = 0
• M13 = det([[6, −1], [2, −3]]) = 6*(−3) − (−1)*2 = −18 + 2 = −16

Тогда Δ = 2M11 − 8M12 + (−1)M13 = 28 − 80 + (−1)(−16) = 16 + 16 = 32. Δ ≠ 0, следовательно система имеет уникальное решение.

3. Вычислим Δx, Δy, Δz (замещаем соответствующий столбец в A на b):

• Δx: заменить первый столбец на b: | 8 8 −1 | |11 −1 3 | | 1 −3 1 |

Детерминант: N11 = det([[-1, 3], [-3, 1]]) = 8 N12 = det([[11, 3], [1, 1]]) = 8 N13 = det([[11, −1], [1, −3]]) = −32

Δx = 8N11 − 8N12 + (−1)N13 = 88 − 88 + (−1)(−32) = 0 + 32 = 32

• Δy: заменить второй столбец на b: | 2 8 −1 | | 6 11 3 | | 2 1 1 |

Детерминант: N11' = det([[11, 3], [1, 1]]) = 8 N12' = det([[6, 3], [2, 1]]) = 0 N13' = det([[6, 11], [2, 1]]) = −16

Δy = 2N11' − 8N12' + (−1)N13' = 28 − 80 + (−1)(−16) = 16 + 16 = 32

• Δz: заменить третий столбец на b: | 2 8 8 | | 6 −1 11 | | 2 −3 1 |

Детерминант: N11'' = det([[-1, 11], [-3, 1]]) = 32 N12'' = det([[6, 11], [2, 1]]) = −16 N13'' = det([[6, −1], [2, −3]]) = −16

Δz = 2N11'' − 8N12'' + 8N13'' = 232 − 8*(−16) + 8*(−16) = 64 + 128 − 128 = 64

4. Найдем решения: x = Δx / Δ = 32 / 32 = 1 y = Δy / Δ = 32 / 32 = 1 z = Δz / Δ = 64 / 32 = 2

Итог: x = 1, y = 1, z = 2.

5. Проверка, подставим в исходные уравнения:

• 21 + 81 − 2 = 2 + 8 − 2 = 8 ✓
• 61 − 1 + 32 = 6 − 1 + 6 = 11 ✓
• 21 − 31 + 2 = 2 − 3 + 2 = 1 ✓

Ответ: x = 1, y = 1, z = 2.