2х+8у-z=8 6x-y+3z=11 2x-3y+z=1 решить систему уравнений методом крамара

Задача: решить систему 2x + 8y − z = 8 6x − y + 3z = 11 2x − 3y + z = 1 методом Крамера (Крамера). 1) Запишем коэффициентную матрицу A и вектор свободных членов b: A = [ 2 8 −1 ] [ 6 −1 3 ] [ 2 −3 1 ] b = [8, 11, 1]^T 2) Вычислим детерминат Δ матрицы A: Δ = det(A) Вычислим через разложение по первой строке: - M11 = det([[-1, 3], [-3, 1]]) = (-1)*1 − 3*(−3) = 8 - M12 = det([[6, 3], [2, 1]]) = 6*1 − 3*2 = 0 - M13 = det([[6, −1], [2, −3]]) = 6*(−3) − (−1)*2 = −18 + 2 = −16 Тогда Δ = 2*M11 − 8*M12 + (−1)*M13 = 2*8 − 8*0 + (−1)*(−16) = 16 + 16 = 32. Δ ≠ 0, следовательно система имеет уникальное решение. 3) Вычислим Δx, Δy, Δz (замещаем соответствующий столбец в A на b): - Δx: заменить первый столбец на b: | 8 8 −1 | |11 −1 3 | | 1 −3 1 | Детерминант: N11 = det([[-1, 3], [-3, 1]]) = 8 N12 = det([[11, 3], [1, 1]]) = 8 N13 = det([[11, −1], [1, −3]]) = −32 Δx = 8*N11 − 8*N12 + (−1)*N13 = 8*8 − 8*8 + (−1)*(−32) = 0 + 32 = 32 - Δy: заменить второй столбец на b: | 2 8 −1 | | 6 11 3 | | 2 1 1 | Детерминант: N11' = det([[11, 3], [1, 1]]) = 8 N12' = det([[6, 3], [2, 1]]) = 0 N13' = det([[6, 11], [2, 1]]) = −16 Δy = 2*N11' − 8*N12' + (−1)*N13' = 2*8 − 8*0 + (−1)*(−16) = 16 + 16 = 32 - Δz: заменить третий столбец на b: | 2 8 8 | | 6 −1 11 | | 2 −3 1 | Детерминант: N11'' = det([[-1, 11], [-3, 1]]) = 32 N12'' = det([[6, 11], [2, 1]]) = −16 N13'' = det([[6, −1], [2, −3]]) = −16 Δz = 2*N11'' − 8*N12'' + 8*N13'' = 2*32 − 8*(−16) + 8*(−16) = 64 + 128 − 128 = 64 4) Найдем решения: x = Δx / Δ = 32 / 32 = 1 y = Δy / Δ = 32 / 32 = 1 z = Δz / Δ = 64 / 32 = 2 Итог: x = 1, y = 1, z = 2. 5) Проверка, подставим в исходные уравнения: - 2*1 + 8*1 − 2 = 2 + 8 − 2 = 8 ✓ - 6*1 − 1 + 3*2 = 6 − 1 + 6 = 11 ✓ - 2*1 − 3*1 + 2 = 2 − 3 + 2 = 1 ✓ Ответ: x = 1, y = 1, z = 2.