В угол А, градусная мера которого равна 60°, вписана окруж-ность, которая касается сторон данного угла в точках В и С. Луч, лежащий внутри угла ВАЄ, пересекает окружность в точках Р и Q AP = 3, PQ = 9. Вычислите периметр треугольника АВС

Для решения задачи нам необходимо использовать свойства касательных и хорд в окружности. Так как отрезок AP – касательная к окружности, то угол BAP равен углу в центре окружности, образованному хордой PQ и дугой AQ. Таким образом, угол BAP равен половине угла в центре, следовательно, равен 30°. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник АРQ, где угол P равен 90°. Мы знаем, что AP = 3 и PQ = 9. Можно воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти сторону AQ. AP^2 + PQ^2 = AQ^2 3^2 + 9^2 = AQ^2 9 + 81 = AQ^2 90 = AQ^2 AQ = √90 = 3√10 Теперь мы можем найти сторону AC. Так как BC – радиус окружности, касающейся угла А, то BC равен радиусу окружности. Так как BC касается окружности в точке С, угол BCA также равен 30° (угол между касательной и радиусом). Теперь можем найти сторону AC с помощью косинусов: cos(30°) = BC / AC √3 / 2 = 3 / AC AC = 6√3 Итак, периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон: AB + AC + BC = 3 + 6√3 + 3 = 6 + 6√3.