Для решения задачи нам необходимо использовать свойства касательных и хорд в окружности.
Так как отрезок AP – касательная к окружности, то угол BAP равен углу в центре окружности, образованному хордой PQ и дугой AQ. Таким образом, угол BAP равен половине угла в центре, следовательно, равен 30°.
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник АРQ, где угол P равен 90°. Мы знаем, что AP = 3 и PQ = 9. Можно воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти сторону AQ.
AP^2 + PQ^2 = AQ^2
3^2 + 9^2 = AQ^2
9 + 81 = AQ^2
90 = AQ^2
AQ = √90 = 3√10
Теперь мы можем найти сторону AC. Так как BC – радиус окружности, касающейся угла А, то BC равен радиусу окружности. Так как BC касается окружности в точке С, угол BCA также равен 30° (угол между касательной и радиусом).
Теперь можем найти сторону AC с помощью косинусов:
cos(30°) = BC / AC
√3 / 2 = 3 / AC
AC = 6√3
Итак, периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон:
AB + AC + BC = 3 + 6√3 + 3 = 6 + 6√3.
