Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа

Крупно говоря, целые числа в памяти обычно хранятся в фиксированной разрядности (8, 16, 32, 64 бита). Есть беззнаковые и знаковые представления. На практике почти повсеместно для знаковых чисел используют двух’s complement, реже — знаковый код или обратный код. Что это значит на примере 8 бит 1) Беззнаковый (unsigned) - Диапазон: 0 … 2^8 − 1 = 0 … 255 - Битовая строка прямо кодирует величину. - Например: 13 = 00001101. 2) Знаковый через знак и модуль (sign-magnitude, SM) - Старший бит (MSB) — знак: 0 положительное, 1 отрицательное; остальные биты — величина по модулю. - Диапазон: -(2^7 − 1) … +(2^7 − 1) и два представления нуля (+0 и −0). - Например: +5 = 0 0000101 → 00000101; −5 = 1 0000101 → 10000101. 3) Обратный код (one’s complement, OC) - Отрицательное число кодируется как битовая инверсия представления его_abs (для положительного x это просто x; для −x — инверсия всех битов x). - Есть два нуля: 00000000 (+0) и 11111111 (−0). - Пример: +5 = 00000101; −5 = инверсия 00000101 → 11111010. - При сложении необходимо учесть «end-around carry» (если есть перенос за пределы разрядности, сложить его обратно в младший разряд). 4) Двух’s complemento (two’s complement, TC) - Это современный стандарт: старший бит — знак, но отрицательное число кодируется как 2^n − |x|. Сам ноль единственный: 00000000. - Диапазон: −2^7 … 2^7 − 1 = −128 … +127. - Примеры (8 бит): - +5 = 00000101 - −5 = 2^8 − 5 = 256 − 5 = 251 → 11111011 - −1 = 11111111 - −128 = 10000000 - Преимущества: сложение и вычитание работают одинаково для знаковых и беззнаковых чисел; единый механизм обработки переполнения. Почему чаще всего используют двух’s complemento - Простая арифметика: сложение и вычитание работают одинаково для положительных и отрицательных чисел, переполнение просто забрасывается в старший бит. - Единственное нулевое представление. Коротко о конвертации в двух’s complemento - Для неотрицательного x: просто двоичное представление. - Для отрицательного −x (0 < x < 2^n): взять двоичное представление x, инвертировать все биты и прибавить 1. - Пример: −18 в 8 битах → 2^8 − 18 = 238 → 11101110. Ключевые моменты - Беззнаковые числа кодируются напрямую битами. - Знаковые схемы SM и OC существуют исторически, но TC стал де-факто стандартом в современных процессорах. - Объем диапазона зависит от разрядности (8, 16, 32, 64 бита и т. д.). - Переполнение наблюдается, если результат выходит за допустимый диапазон. Если нужно, могу привести задачи на преобразование конкретного числа в нужном формате (8/16/32-бит) или разобрать пример сложения в двух’s complemento.