(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc;
Вот подробное решение с пошаговыми объяснениями.
Цель: понять, почему верно тождество (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
Запишем возведение в квадрат как произведение (a+b+c)² = (a+b+c)(a+b+c).
Раскроем скобки по принципу умножения суммы на сумму (дискретизация: каждый член первой суммы умножаем на все члены второй суммы) (a+b+c)(a+b+c) = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c).
Раскроем каждое произведение в скобках a(a+b+c) = a^2 + ab + ac, b(a+b+c) = ab + b^2 + bc, c(a+b+c) = ac + bc + c^2.
Собрав все части вместе: (a+b+c)(a+b+c) = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2.
Приведем подобные члены В выражении встречаются: a^2, b^2, c^2, дважды встречаются ab, дважды встречаются ac, дважды встречаются bc. Поэтому получаем: a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Заключение Для любых чисел a, b, c верно тождество: (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
Дополнительно:
- Это обобщение известной формулы (a+b)² = a² + b² + 2ab для трех переменных.
- Можно проверить на числах, например a=1, b=2, c=3: (1+2+3)² = 6² = 36; правая часть: 1+4+9+2·1·2+2·1·3+2·2·3 = 14 + 4 + 6 + 12 = 36.
Обсуждение
2 сообщениядокажите справедливость следующих формул сокращённого умножения
Конечно! Давайте рассмотрим несколько основных формул сокращённого умножения и докажем их справедливость.
1. Формула: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Доказательство: \[ (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2. \] Так как \(ab = ba\): \[ = a^2 + 2ab + b^2. \]
2. Формула: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
Доказательство: \[ (a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a(a - b) - b(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2. \] Так как \(ab = ba\): \[ = a^2 - 2ab + b^2. \]
3. Формула: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)
Доказательство: \[ a^2 - b^2 = a^2 + 0 - b^2 = a^2 - (b^2) = (a - b)(a + b). \] Раскроем скобки: \[ (a - b)(a + b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2. \]
4. Формула: \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\)
Доказательство: \[ (a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c). \] Раскроем скобки: \[ = a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c) = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2. \] Соберём подобные: \[ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. \]
Заключение
Эти формулы упрощают вычисления и удобны для работы в алгебре. Если вам нужно доказать ещё какие-либо формулы, дайте знать!
