(A backslash B) cap (B backslash C)

Задача: (A \ B) ∩ (B \ C)

Ответ: ∅ (пустое множество)

Пошаговое объяснение

1. Вспомним определения

• A \ B = {x | x ∈ A и x ∉ B}
• B \ C = {x | x ∈ B и x ∉ C}
• Пересечение X ∩ Y = {x | x ∈ X и x ∈ Y}

2. Пусть x принадлежит (A \ B) ∩ (B \ C)

• Тогда x ∈ A и x ∉ B (из A \ B)
• и同时 x ∈ B и x ∉ C (из B \ C)

3. Противоречие

• Требуется одновременно x ∈ B и x ∉ B. Это невозможно для любого элемента.
• Значит таких x не существует.

4. Вывод

• Следовательно, (A \ B) ∩ (B \ C) = ∅.

Дополнительная альтернативная причина (опционально)

• Так как B \ C ⊆ B, имеем (A \ B) ∩ (B \ C) ⊆ (A \ B) ∩ B.
• А A \ B несовместимо с B, потому (A \ B) ∩ B = ∅, значит и левая часть равна ∅.

Кратко intuition

• Первый множитель исключает все элементы из B, если они принадлежат A.
• Второй множитель требует, чтобы элемент принадлежал B, но не принадлежал C.
• Эти требования противоречат друг другу, поэтому пересечение пустое.