Дано распределение частот величины X. Х=2,3,4,5 М=6,3,4,1 Найдите среднее значение и среднее квадратичное отклонение величины Х. простое объяснение для 8 класса

Разберём задачу пошагово.

Дано распределение по частотам:

• Значения X: 2, 3, 4, 5
• Частоты M: 6, 3, 4, 1

1. Всего наблюдений N = 6 + 3 + 4 + 1 = 14

2. Среднее значение (математическое ожидание) Формула: X̄ = (Σ x_i * m_i) / N

Вычисления:

• 2 * 6 = 12
• 3 * 3 = 9
• 4 * 4 = 16
• 5 * 1 = 5

Сумма: 12 + 9 + 16 + 5 = 42

X̄ = 42 / 14 = 3

Ответ: среднее значение равно 3.

3. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) Сначала найдём дисперсию для полной совокупности (популяционная дисперсия): σ² = (Σ m_i * (x_i − X̄)²) / N

Вычислим для каждого значения:

• для x = 2: (2 − 3)² = 1; 1 * 6 = 6
• для x = 3: (3 − 3)² = 0; 0 * 3 = 0
• для x = 4: (4 − 3)² = 1; 1 * 4 = 4
• для x = 5: (5 − 3)² = 4; 4 * 1 = 4

Сумма числителя: 6 + 0 + 4 + 4 = 14

Делим на N: σ² = 14 / 14 = 1

Стандартное отклонение: σ = sqrt(σ²) = sqrt(1) = 1

Ответ: среднее квадратическое отклонение равно 1.

Итого:

• Среднее X̄ = 3
• Среднее квадратическое отклонение σ = 1

Примечание: если бы речь шла о выборке, а не о полном распределении, стандартное отклонение брали бы по формуле деления на N−1, и получили бы примерно σ ≈ 1.04. Но для данного полного распределения правильнее использовать популяционное σ = 1.