F(x)=1-sinx

Задача: f(x) = 1 − sin x Цель: понять свойства функции и разобрать шаги подробно. 1) Область определения - sin x определён для всех действительных x, поэтому область определения f тоже вся ℝ. 2) Диапазон значений - sin x ∈ [−1, 1]. - следовательно, −sin x ∈ [−1, 1], и f(x) = 1 − sin x ∈ [1 − 1, 1 − (−1)] = [0, 2]. - значит диапазон функции: от 0 до 2 включительно. 3) График и его геометрическое интерпретирование - f(x) = 1 − sin x можно рассматривать как отражение графика y = sin x вдоль оси x (то есть смена знака) и затем смещение вверх на 1: y = −sin x + 1. - Амплитуда графика остаётся 1, середняя линия по y равна 1, период — 2π. - Максимумы и минимумы повторяются каждый период: - максимум значение 2 достигается там, где sin x = −1: x = 3π/2 + 2πk. - минимум значение 0 достигается там, где sin x = 1: x = π/2 + 2πk. - Пример точек: - f(0) = 1 - f(π/2) = 0 - f(π) = 1 - f(3π/2) = 2 - f(2π) = 1 4) Производная и критические точки - Производная: f′(x) = −cos x. - Критические точки там, где f′(x) = 0 → cos x = 0 → x = π/2 + πk. - Классификация через вторую производную: - f″(x) = sin x. - В pontos π/2 + 2πk: sin(π/2) = 1 > 0 → локальный минимум. Значение в этих точках: f(π/2 + 2πk) = 1 − sin(π/2) = 0. - В pontos 3π/2 + 2πk: sin(3π/2) = −1 < 0 → локальный максимум. Значение в этих точках: f(3π/2 + 2πk) = 1 − sin(3π/2) = 2. - Следовательно, по периодам функция чередует минимумы и maxima. 5) Моностония (изменение на участках) - f′(x) = −cos x: - cos x > 0 на intervals (-π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) → f′(x) < 0 → функция убывает на этих интервалах. - cos x < 0 на intervals (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) → f′(x) > 0 → функция возрастает на этих интервалах. - Итог: функция уменьшается на каждом промежутке от −π/2 до π/2 (с учётом периодов), достигает минимума в π/2, затем возрастает до 3π/2, где достигает максимума, и так далее. 6) Связь с общей формой синуса - Если представить как y = sin x, то f(x) = 1 − sin x: это синусойда с амплитудой 1, но отражённая вдоль оси x и поднятая вверх на 1 единицу. - Период остаётся 2π; вертикальная амплитуда и центр смещённой оси изменены соответственно. 7) Короткие выводы - Область определения: ℝ. - Диапазон значений: [0, 2]. - Период графика: 2π. - Минимумы: f = 0 в x = π/2 + 2πk. - Максимумы: f = 2 в x = 3π/2 + 2πk. - Производная: f′(x) = −cos x; функция убывает на промежутках (−π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) и возрастает на (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk). Если нужно, могу помочь нарисовать график или привести конкретные шаги для задачи типа "построить график на одном периоде" или "найти значение функции при заданном x".