f(x)=1-sinx

Задача: f(x) = 1 − sin x

Цель: понять свойства функции и разобрать шаги подробно.

1. Область определения

• sin x определён для всех действительных x, поэтому область определения f тоже вся ℝ.

2. Диапазон значений

• sin x ∈ [−1, 1].
• следовательно, −sin x ∈ [−1, 1], и f(x) = 1 − sin x ∈ [1 − 1, 1 − (−1)] = [0, 2].
• значит диапазон функции: от 0 до 2 включительно.

3. График и его геометрическое интерпретирование

• f(x) = 1 − sin x можно рассматривать как отражение графика y = sin x вдоль оси x (то есть смена знака) и затем смещение вверх на 1: y = −sin x + 1.
• Амплитуда графика остаётся 1, середняя линия по y равна 1, период — 2π.
• Максимумы и минимумы повторяются каждый период:
  • максимум значение 2 достигается там, где sin x = −1: x = 3π/2 + 2πk.
  • минимум значение 0 достигается там, где sin x = 1: x = π/2 + 2πk.
• Пример точек:
  • f(0) = 1
  • f(π/2) = 0
  • f(π) = 1
  • f(3π/2) = 2
  • f(2π) = 1

4. Производная и критические точки

• Производная: f′(x) = −cos x.
• Критические точки там, где f′(x) = 0 → cos x = 0 → x = π/2 + πk.
• Классификация через вторую производную:
  • f″(x) = sin x.
  • В pontos π/2 + 2πk: sin(π/2) = 1 > 0 → локальный минимум. Значение в этих точках: f(π/2 + 2πk) = 1 − sin(π/2) = 0.
  • В pontos 3π/2 + 2πk: sin(3π/2) = −1 < 0 → локальный максимум. Значение в этих точках: f(3π/2 + 2πk) = 1 − sin(3π/2) = 2.
• Следовательно, по периодам функция чередует минимумы и maxima.

5. Моностония (изменение на участках)

• f′(x) = −cos x:
  • cos x > 0 на intervals (-π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) → f′(x) < 0 → функция убывает на этих интервалах.
  • cos x < 0 на intervals (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) → f′(x) > 0 → функция возрастает на этих интервалах.
• Итог: функция уменьшается на каждом промежутке от −π/2 до π/2 (с учётом периодов), достигает минимума в π/2, затем возрастает до 3π/2, где достигает максимума, и так далее.

6. Связь с общей формой синуса

• Если представить как y = sin x, то f(x) = 1 − sin x: это синусойда с амплитудой 1, но отражённая вдоль оси x и поднятая вверх на 1 единицу.
• Период остаётся 2π; вертикальная амплитуда и центр смещённой оси изменены соответственно.

7. Короткие выводы

• Область определения: ℝ.
• Диапазон значений: [0, 2].
• Период графика: 2π.
• Минимумы: f = 0 в x = π/2 + 2πk.
• Максимумы: f = 2 в x = 3π/2 + 2πk.
• Производная: f′(x) = −cos x; функция убывает на промежутках (−π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) и возрастает на (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk).

Если нужно, могу помочь нарисовать график или привести конкретные шаги для задачи типа "построить график на одном периоде" или "найти значение функции при заданном x".