Придя на тренировку по футболу, Дима не поздоровался с одной шестой ребят из секции, не считая себя. Один из тех ребят, с кем он поздоровался, Серёжа, сам поздоровался с одной…
Придя на тренировку по футболу, Дима не поздоровался с одной шестой ребят из секции, не считая себя. Один из тех ребят, с кем он поздоровался, Серёжа, сам поздоровался с одной седьмой от тех футболистов, с кем поздоровался Дима, не считая себя. 2. С каким количеством ребят из секции не поздоровался Дима (при условии минимальности количества ребят в секции)?
Решение (пошагово, без указанных класса/предмета):
Обозначим общее число ребят в секции как N (включая Диму). Тогда количество других ребят, с которыми Дима мог поздороваться, равно N − 1.
Дима не поздоровался с 1/6 от этих N−1 ребят, т.е. не поздоровался с (N−1)/6 человек. Значит:
- N − 1 должно быть кратно 6.
- Дима поздоровался с M = (N − 1) − (N − 1)/6 = (5/6)(N − 1) ребят.
Один из тех, с кем он поздоровался, Серёжа. Серёжа поздоровался с 1/7 от тех футболистов, с кем поздоровался Дима, не считая себя. То есть количество людей, которых поздоровался Серёжа, равно M/7, и это должно быть целым числом. Соответственно M должно быть кратно 7.
Пусть N − 1 = 6k (k ∈ N). Тогда M = (5/6)(N − 1) = 5k. Т.к. M должно быть кратно 7, получаем 5k ≡ 0 (mod 7). Так как gcd(5,7) = 1, это значит k ≡ 0 (mod 7). Минимальное положительное k = 7.
Следовательно:
- N − 1 = 6k = 6·7 = 42 → N = 43.
- M = 5k = 5·7 = 35.
- Серёжа поздоровался с M/7 = 35/7 = 5 людьми.
Ответ на вопрос: количество ребят, с которыми Дима не поздоровался, при минимальном числе ребят в секции, равно 7.
Дополнение (проверка): Дима поздоровался с 35 из 42 остальных; Серёжа входит в эти 35 и сам поздоровался с 5 из них. Всё целые числа и удовлетворяют условиям задачи.
