Найти производные следующих функций: 1) y = 4x⁸ + 6x⁷ - 6x⁶ + 5x⁵ - 4x⁴ + 3x², при x = -1 2) y = (2x²(4x⁶ - 3x⁴))/(6x³), при x = -2 3) y = (10x⁴ + 7x⁶)(11x³ - 7x⁵), при x = 1 4) y…

Ниже подробное решение по каждой задаче с пошаговыми объяснениями.

1. y = 4x^8 + 6x^7 - 6x^6 + 5x^5 - 4x^4 + 3x^2, при x = -1

• Найдём производную: y' = d/dx(4x^8) + d/dx(6x^7) + d/dx(-6x^6) + d/dx(5x^5) + d/dx(-4x^4) + d/dx(3x^2) = 32x^7 + 42x^6 - 36x^5 + 25x^4 - 16x^3 + 6x.
• Подставим x = -1: y'(-1) = 32(-1)^7 + 42(-1)^6 - 36(-1)^5 + 25(-1)^4 - 16(-1)^3 + 6(-1) = -32 + 42 + 36 + 25 + 16 - 6 = 81.
• Ответ: 81.

2. y = (2x^2(4x^6 - 3x^4)) / (6x^3), при x = -2

• Упростим выражение, чтобы избавиться от дробей: y = [2x^2(4x^6 - 3x^4)] / (6x^3) = [2(4x^6 - 3x^4)] / (6x) (так как x^2 / x^3 = 1/x) = (8x^6 - 6x^4) / (6x) = (4/3)x^5 - x^3.
• Найдём производную: y' = (4/3)·5x^4 - 3x^2 = (20/3)x^4 - 3x^2.
• Подставим x = -2: x^2 = 4, x^4 = 16. y'(-2) = (20/3)·16 - 3·4 = 320/3 - 12 = 320/3 - 36/3 = 284/3.
• Ответ: 284/3.

3. y = (10x^4 + 7x^6)(11x^3 - 7x^5), при x = 1

• Пусть f(x) = 10x^4 + 7x^6 и g(x) = 11x^3 - 7x^5. Тогда y = f(x)·g(x).
• Производные: f'(x) = 40x^3 + 42x^5, g'(x) = 33x^2 - 35x^4.
• По формуле производной произведения: y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
• Вычислим в точке x = 1: f'(1) = 40 + 42 = 82, g(1) = 11 - 7 = 4, f(1) = 10 + 7 = 17, g'(1) = 33 - 35 = -2. y'(1) = 82·4 + 17·(-2) = 328 - 34 = 294.
• Ответ: 294.

4. y = ((6x^2 + 2x)(x^3 + 4x^2)) / (3x^2), при x = -1

• Упростим: 6x^2 + 2x = 2x(3x+1); x^3 + 4x^2 = x^2(x+4). Числитель = 2x^3(3x+1)(x+4); знаменатель = 3x^2. Следовательно, y = (2/3) x (3x+1)(x+4).
• Производная: применим произведение трёх множителей h(x)=x, p(x)=3x+1, q(x)=x+4. y = (2/3) h p q, поэтому y' = (2/3)[h'pq + h p' q + h p q']. Здесь h' = 1, p' = 3, q' = 1. y' = (2/3)[ (1)(3x+1)(x+4) + x·3·(x+4) + x(3x+1) ].
• Подставим x = -1: (3x+1) = -2, (x+4) = 3. Первая часть: (3x+1)(x+4) = (-2)·3 = -6. Вторая часть: x·3·(x+4) = (-1)·3·3 = -9. Третья часть: x(3x+1) = (-1)(-2) = 2. В сумме: -6 - 9 + 2 = -13. y'(-1) = (2/3)(-13) = -26/3.
• Ответ: -26/3.

5. y = (7x^10 + 8x^5)(8x^11 - 9x^4), при x = 1

• Пусть f(x) = 7x^10 + 8x^5, g(x) = 8x^11 - 9x^4. Тогда f'(x) = 70x^9 + 40x^4, g'(x) = 88x^10 - 36x^3.
• Производная произведения: y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
• В точке x = 1: f(1) = 7 + 8 = 15, f'(1) = 70 + 40 = 110; g(1) = 8 - 9 = -1, g'(1) = 88 - 36 = 52. y'(1) = 110·(-1) + 15·52 = -110 + 780 = 670.
• Ответ: 670.

Итоговые ответы:

1. 81
2. 284/3
3. 294
4. -26/3
5. 670