представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число: а) 1/3

Задача: представить число 1/3 в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Ключевая идея: 1/3 — рациональное число, поэтому его десятичное представление периодично. Для 1/3 период длиной единица, цифра 3.

Способ 1. Долговое деление

• Делим 1 на 3: целая часть 0, остаток 1.
• Добавляем десятичную частицу: приводим к 10. 10 ÷ 3 = 3, остаток 1.
• Процесс повторяется: следующая цифра тоже 3, остаток снова 1, и т.д.
• Значит десятичное представление: 0.333... , т.е. 0.\overline{3}.

Способ 2. Алгебраический

• Пусть x = 0.333...
• Умножим на 10: 10x = 3.333...
• Вычтем: 10x − x = 3.333... − 0.333... → 9x = 3
• Тогда x = 3/9 = 1/3
• Следовательно, 1/3 = 0.\overline{3}.

Способ 3. Геометрическая серия

• 0.333... = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ...
• Это геометрическая серия с первым членом a1 = 3/10 и отношением r = 1/10.
• Сумма серии: S = a1 / (1 − r) = (3/10) / (1 − 1/10) = (3/10) / (9/10) = 3/9 = 1/3.
• Значит 1/3 равно 0.\overline{3}.

Итог: 1/3 = 0.\overline{3} (бесконечная десятичная периодическая дробь с периодом длины 1).