Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число: а) 1/3

Задача: представить число 1/3 в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Ключевая идея: 1/3 — рациональное число, поэтому его десятичное представление периодично. Для 1/3 период длиной единица, цифра 3. Способ 1. Долговое деление - Делим 1 на 3: целая часть 0, остаток 1. - Добавляем десятичную частицу: приводим к 10. 10 ÷ 3 = 3, остаток 1. - Процесс повторяется: следующая цифра тоже 3, остаток снова 1, и т.д. - Значит десятичное представление: 0.333... , т.е. 0.\overline{3}. Способ 2. Алгебраический - Пусть x = 0.333... - Умножим на 10: 10x = 3.333... - Вычтем: 10x − x = 3.333... − 0.333... → 9x = 3 - Тогда x = 3/9 = 1/3 - Следовательно, 1/3 = 0.\overline{3}. Способ 3. Геометрическая серия - 0.333... = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... - Это геометрическая серия с первым членом a1 = 3/10 и отношением r = 1/10. - Сумма серии: S = a1 / (1 − r) = (3/10) / (1 − 1/10) = (3/10) / (9/10) = 3/9 = 1/3. - Значит 1/3 равно 0.\overline{3}. Итог: 1/3 = 0.\overline{3} (бесконечная десятичная периодическая дробь с периодом длины 1).