Z=5+i

Задача: z = 5 + i. Рассмотрим z как комплексное число в плоскости и найдём его различные представления и основные характеристики. Что будем считать: - a = 5 (действительная часть) - b = 1 (мнимая часть) - модуль r = |z|, аргумент φ (угол к положительному направлению оси x) 1) Модуль z - r = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(5^2 + 1^2) = sqrt(25 + 1) = sqrt(26). - Точное значение: sqrt(26) ≈ 5.0990195. 2) Аргумент z - tan φ = b / a = 1 / 5. - Так как a > 0 и b > 0, z находится в первой четверти, значит φ ∈ (0, π/2). - φ = arctan(1/5) ≈ 0.19739556 rad ≈ 11.3099°. 3) Полярная форма z - z можно записать как z = r (cos φ + i sin φ). - Получаем: z = sqrt(26) [cos(arctan(1/5)) + i sin(arctan(1/5))]. - Более наглядно через компоненты cos и sin: - cos φ = a / r = 5 / sqrt(26) - sin φ = b / r = 1 / sqrt(26) Тогда z = sqrt(26) (5/√26 + i · 1/√26) = 5 + i (что согласуется с исходной записью). - Эквивалентно экспоненциальная форма: z = sqrt(26) e^{i φ}, где φ = arctan(1/5). 4) Примеры дополнительных преобразований (по желанию) - Обратно в прямую форму: z = 5 + i (как и дано). - Обратная величина: 1/z = (5 − i) / (5^2 + 1^2) = (5 − i)/26. Модуль 1/z = 1 / |z| = 1 / sqrt(26) ≈ 0.196116. - Усложнённые операции (для иллюстрации De Moivre): - z^2 = (5 + i)^2 = 25 + 10i + i^2 = 24 + 10i. - |z^2| = |z|^2 = 26, аргумент 2φ. Итого: - z = 5 + i - Modulus |z| = sqrt(26) ≈ 5.0990 - Аргумент φ = arctan(1/5) ≈ 0.1974 рад ≈ 11.31° - Полярная форма: z = sqrt(26) (cos φ + i sin φ) - Экспонентная форма: z = sqrt(26) e^{i φ} Если хочешь, могу сделать ещё конкретную задачу по z: например возвести в степень, найти z^n, или найти аргумент в градусах для другого примера.