Z¹=5-2i и z²=6+i

Вот подробное разбор по стандартным операциям с данными комплексными числами z1 = 5 − 2i и z2 = 6 + i. Цель — понять, как работать с такими числами (сложение, умножение, деление, модули и аргументы). 1) Сложение и вычитание - z1 + z2 = (5 − 2i) + (6 + i) = (5 + 6) + (−2i + i) = 11 − i - z1 − z2 = (5 − 2i) − (6 + i) = (5 − 6) + (−2i − i) = −1 − 3i 2) Произведение - z1 · z2 = (5 − 2i)(6 + i) = 5·6 + 5·i − 2i·6 − 2i·i = 30 + 5i − 12i − 2i^2 = 30 − 7i − 2(−1) = 32 − 7i 3) Частное - z1 / z2 = (5 − 2i) / (6 + i) Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя (6 − i): = [(5 − 2i)(6 − i)] / [(6 + i)(6 − i)] = (30 − 5i − 12i + 2i^2) / (36 + 1) = (30 − 17i − 2) / 37 = (28 − 17i) / 37 => z1 / z2 = 28/37 − (17/37)i ≈ 0.7568 − 0.4595i 4) Модули и аргументы - Модуль |z1| = sqrt(5^2 + (−2)^2) = sqrt(25 + 4) = sqrt(29) |z2| = sqrt(6^2 + 1^2) = sqrt(36 + 1) = sqrt(37) Графически: |z1| ≈ 5.385, |z2| ≈ 6.083 - Аргументы (углы в радианах, принципиальные значения) arg(z1) = atan2(−2, 5) ≈ −0.380506 rad ≈ −21.80° arg(z2) = atan2(1, 6) ≈ 0.165149 rad ≈ 9.46° 5) Полярные формы - z1 = sqrt(29) (cos(−0.380506) + i sin(−0.380506)) - z2 = sqrt(37) (cos(0.165149) + i sin(0.165149)) 6) Проверка через полярную форму (опционально) - Произведение в полярной форме: модуль: sqrt(29)·sqrt(37) = sqrt(29·37) = sqrt(1073) аргумент: −0.380506 + 0.165149 = −0.215357 rad Это соответствует z1·z2 = 32 − 7i, так как |32 − 7i| = sqrt(32^2 + 7^2) = sqrt(1024 + 49) = sqrt(1073) и аргумент равен arctan(−7/32) ≈ −0.2153 rad. - Частное в полярной форме: модуль: sqrt(29)/sqrt(37) = sqrt(29/37) ≈ 0.8855 аргумент: arg(z1) − arg(z2) ≈ −0.380506 − 0.165149 ≈ −0.545655 rad Соответствует ранее найденному z1/z2 = 28/37 − (17/37)i с модулем около 0.8855 и аргументом около −0.546 rad. Итоги по ззадаче: - z1 + z2 = 11 − i - z1 − z2 = −1 − 3i - z1 · z2 = 32 − 7i - z1 / z2 = 28/37 − (17/37)i ≈ 0.7568 − 0.4595i - |z1| = sqrt(29), |z2| = sqrt(37) - arg(z1) ≈ −0.3805 rad, arg(z2) ≈ 0.16515 rad - Полярные формы приведены выше.