sin²x - 3sinxcosx + 2cos²x

Задача без указанных параметров: разберём выражение sin²x - 3 sin x cos x + 2 cos²x и постараемся получить подробное объяснение.

1. Обозначения

• Пусть s = sin x, c = cos x. Тогда выражение записывается как E = s² - 3 s c + 2 c².

2. Факторизация как квадратный многочлен в s

• Предположим, что E можно разложить как произведение скобок: E = (s - m c)(s - n c).
• Раскрывая скобки: (s - m c)(s - n c) = s² - (m + n) s c + m n c².
• Сравнивая коэффициенты с E, получаем систему:
  • m + n = 3
  • m n = 2
• Решение этой системы даёт m = 1, n = 2 (или наоборот).
• Значит, E = (s - c)(s - 2c) = (sin x - cos x)(sin x - 2 cos x).

3. Проверка

• Раскрываем скобки: (sin x - cos x)(sin x - 2 cos x) = sin²x - 2 sin x cos x - sin x cos x + 2 cos²x = sin²x - 3 sin x cos x + 2 cos²x. Проверка верна.

4. Нули выражения

• E = 0 тогда и только тогда (sin x - cos x)(sin x - 2 cos x) = 0.
• Значит либо sin x = cos x (tan x = 1) → x = π/4 + kπ,
• либо sin x = 2 cos x (tan x = 2) → x = arctan(2) + kπ, где k — целое число.

5. Альтернативный вид через двойной угол (для понимания связи с тригонометрией)

• Используя формулы:
  • sin²x = (1 - cos 2x)/2
  • cos²x = (1 + cos 2x)/2
  • sin x cos x = (1/2) sin 2x
• Получаем: E = (1 - cos 2x)/2 - 3(1/2) sin 2x + 2(1 + cos 2x)/2 = (3 + cos 2x)/2 - (3/2) sin 2x = (1/2)(3 + cos 2x - 3 sin 2x).
• Это другой способ записать тот же самый выражение.

6. Итог

• Основная удобная форма: sin²x - 3 sin x cos x + 2 cos²x = (sin x - cos x)(sin x - 2 cos x).
• Нули: x = π/4 + kπ или x = arctan(2) + kπ.

Если нужно, могу привести дополнительные примеры подстановки или обсудить графики этого выражения на интервале.