Sin²x - 3sinxcosx + 2cos²x

Задача без указанных параметров: разберём выражение sin²x - 3 sin x cos x + 2 cos²x и постараемся получить подробное объяснение. 1) Обозначения - Пусть s = sin x, c = cos x. Тогда выражение записывается как E = s² - 3 s c + 2 c². 2) Факторизация как квадратный многочлен в s - Предположим, что E можно разложить как произведение скобок: E = (s - m c)(s - n c). - Раскрывая скобки: (s - m c)(s - n c) = s² - (m + n) s c + m n c². - Сравнивая коэффициенты с E, получаем систему: - m + n = 3 - m n = 2 - Решение этой системы даёт m = 1, n = 2 (или наоборот). - Значит, E = (s - c)(s - 2c) = (sin x - cos x)(sin x - 2 cos x). 3) Проверка - Раскрываем скобки: (sin x - cos x)(sin x - 2 cos x) = sin²x - 2 sin x cos x - sin x cos x + 2 cos²x = sin²x - 3 sin x cos x + 2 cos²x. Проверка верна. 4) Нули выражения - E = 0 тогда и только тогда (sin x - cos x)(sin x - 2 cos x) = 0. - Значит либо sin x = cos x (tan x = 1) → x = π/4 + kπ, - либо sin x = 2 cos x (tan x = 2) → x = arctan(2) + kπ, где k — целое число. 5) Альтернативный вид через двойной угол (для понимания связи с тригонометрией) - Используя формулы: - sin²x = (1 - cos 2x)/2 - cos²x = (1 + cos 2x)/2 - sin x cos x = (1/2) sin 2x - Получаем: E = (1 - cos 2x)/2 - 3(1/2) sin 2x + 2(1 + cos 2x)/2 = (3 + cos 2x)/2 - (3/2) sin 2x = (1/2)(3 + cos 2x - 3 sin 2x). - Это другой способ записать тот же самый выражение. 6) Итог - Основная удобная форма: sin²x - 3 sin x cos x + 2 cos²x = (sin x - cos x)(sin x - 2 cos x). - Нули: x = π/4 + kπ или x = arctan(2) + kπ. Если нужно, могу привести дополнительные примеры подстановки или обсудить графики этого выражения на интервале.