Задача рассматривает пряму l и плоскость Π, в которой лежит данный треугольник (пусть треугольник ABC лежит в Π).
а) прямая пересекает две стороны треугольника
Допустим, l пересекает стороны AB и AC (или AB и BC и т. д.) в точках P и Q, причём P ≠ Q (интерьеры сторон или две разные стороны пересекаются лline). Тогда:
- P ∈ AB ⊆ Π и Q ∈ AC ⊆ Π, значит P и Q лежат в одной плоскости Π.
- Через две отличные точки существует единственная прямая, проходящая через них — это прямая l.
- Следовательно, l лежит в плоскости Π (то есть l ⊆ Π).
Замечание: если же речь идёт лишь о том, что прямая пересекает две стороны, но при этом пересечение происходит в одну и ту же точку — в общих случаях это возможно только если прямая проходит через общую вершину двух сторон. В таком случае утверждение может не срабатывать (нужно уточнить, пересекает ли прямая стороны в двух различных точках). Но в обычной формулировке предполагают пересечение в двух разных точках, тогда вывод выше верен.
Итак, при условии, что прямая пересекает две стороны в двух различных точках, верно: прямая лежит в плоскости данного треугольника.
б) прямая проходит через одну из вершин треугольника
Это условие не гарантирует, что прямая лежит в плоскости Π. Прямая может проходить через вершину, но при этом выходить за плоскость треугольника.
Пример(-ы): возьмём треугольник ABC в плоскости z = 0 с вершинами A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0). Пусть прямая l проходит через вершину A и направлена перпендикулярно плоскости, скажем l: x = 0, y = 0, z произвольное. Эта прямая пересекает плоскость Π только в точке A и не лежит в этой плоскости. Значит условие “через вершину” не гарантирует принадлежности к плоскости.
Итак, ответ на пункт (b): нет, не обязательно; прямая может проходить через вершину и при этом не лежать в плоскости треугольника.
Итого:
- а) Да, если прямая пересекает две стороны в двух различных точках, то она лежит в плоскости треугольника.
- б) Нет, проходя через вершину, прямая не обязана лежать в плоскости треугольника.
