решить уровнение. x⁴-2x²-8=0

Задача: решить уравнение x^4 - 2x^2 - 8 = 0.

Пошагово с объяснениями (для понимания):

1. Заменим переменную, чтобы получить квадратное уравнение.

• Пусть t = x^2 (t ≥ 0 для вещественных x).
• Тогда уравнение становится: t^2 - 2t - 8 = 0.

2. Решим квадратное уравнение по обычной формуле.

• Дискриминант: Δ = (-2)^2 - 4·1·(-8) = 4 + 32 = 36.
• Корни: t = (2 ± √36)/2 = (2 ± 6)/2.
• Получаем t1 = (2 + 6)/2 = 4, t2 = (2 - 6)/2 = -2.

3. Возвращаемся к x.

• Из t = x^2: x^2 = 4 или x^2 = -2.

4. Решения.

• Из x^2 = 4: x = ±2.
• Из x^2 = -2: вещественных решений нет (для вещественных чисел квадрат отрицательного числа не существует). Если разрешены_complex_числа, то x = ± i√2.

5. Проверка (по желанию).

• Для x = 2: 2^4 - 2·2^2 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0. Аналогично для x = -2.
• Для комплексного решения: подстановка x = ± i√2 даёт 0, т.к. x^2 = -2, x^4 = 4, и 4 - 2(-2) - 8 = 0.

Альтернативный способ (факторизация):

• x^4 - 2x^2 - 8 = (x^2 - 4)(x^2 + 2).
• Отсюда x^2 = 4 или x^2 = -2, что даёт те же корни.

Ответ:

• Реальные решения: x = -2, x = 2.
• Комплексные решения (если нужны): x = ± i√2.