(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=120

Задача: (x−1)(x−2)(x−3)(x−4) = 120

Пошаговое решение (подробно, для средней школы):

1. Объедим пары, чтобы получить простые квадратные выражения. (x−1)(x−4) = x^2 − 5x + 4 (x−2)(x−3) = x^2 − 5x + 6

   Обозначим t = x^2 − 5x. Тогда произведение равно (t + 4)(t + 6).

2. Приведём уравнение к одному переменному. (t + 4)(t + 6) = 120 t^2 + 10t + 24 = 120 t^2 + 10t − 96 = 0

   Это квадратное уравнение относительно t.

3. Решим квадратное уравнение для t. Дискриминант D = 10^2 − 4·1·(−96) = 100 + 384 = 484 = 22^2 t = [−10 ± 22] / 2 ⇒ t = 6 или t = −16

4. Найдём x для каждого значения t. a) Если t = x^2 − 5x = 6, то: x^2 − 5x − 6 = 0 (x − 6)(x + 1) = 0 ⇒ x = 6 или x = −1

   b) Если t = x^2 − 5x = −16, то: x^2 − 5x + 16 = 0 Дискриминант Δ = 25 − 64 = −39 < 0, следовательно, вещественных корней нет. Комплексные корни: x = [5 ± i√39] / 2

5. Ответ. Реальные решения: x = 6 и x = −1. Комплексные решения: x = (5 ± i√39)/2 (если требуется рассмотреть комплексные числа).

Проверка (для проверки понимания):

• При x = 6: (5)(4)(3)(2) = 120, верно.
• При x = −1: (−2)(−3)(−4)(−5) = 120, верно.

Если нужно, могу привести альтернативный способ решения или проверить другие варианты задач с тем же методом.