найти множество значений функции: y=sin 2x cos 2x + 3

Рассмотрим задачу: найти множество значений функции y = sin(2x) cos(2x) + 3.

• Шаг 1. Упростим выражение через стандартную тождество sin(a) cos(a) = (1/2) sin(2a). Здесь a = 2x, поэтому sin(2x) cos(2x) = (1/2) sin(4x).

  Значит y = (1/2) sin(4x) + 3.

• Шаг 2. Найдём диапазон синуса Для любого t выполняется -1 ≤ sin t ≤ 1. Следовательно (1/2) sin(4x) ∈ [-1/2, 1/2].

  Прибавив 3, получаем y ∈ [3 - 1/2, 3 + 1/2] = [5/2, 7/2].

• Шаг 3. Проверим достижимость крайних значений

  • Максимум y достигается, когда sin(4x) = +1: 4x = π/2 + 2πk → x = π/8 + (π/2)k. Тогда y = 3 + 1/2 = 7/2.
  • Минимум y достигается, когда sin(4x) = -1: 4x = 3π/2 + 2πk → x = 3π/8 + (π/2)k. Тогда y = 3 - 1/2 = 5/2.

Итак, множество значений функции (диапазон, диапазон значений y) равно [5/2, 7/2].