60 Разложите на множители квадратный трехчлен: a) 3x2-24x+21; г) x2-12x+24; ж) 2x2-5x+3; б) 5x2+10x-15; д) -y2+16y-15; 3) 5y +2y-3; b) 5x2+5x+5; е)-x2-8x+9; и) -2x2+5x+7.

Вот подробное разложение на множители для каждого заданного квадратного трёхчлена. Я показываю шаги и пояснения, как по GCSE/9-й класс можно удобно объяснить.

a) 3x^2 − 24x + 21

• Шаг 1: извлечь общий множитель 3: 3(x^2 − 8x + 7)
• Шаг 2: разложить квадратный трёхчлен x^2 − 8x + 7: числа 1 и 7 дают сумму 8, значит x^2 − 8x + 7 = (x − 1)(x − 7)
• Ответ: 3(x − 1)(x − 7)

г) x^2 − 12x + 24

• Шаг 1: проверить разложимость над целыми числами. D = (−12)^2 − 4·1·24 = 144 − 96 = 48, не квадрат.
• Значит разложение над целыми коэффициентами отсутствует. Над действительными числами можно записать через радикалы: x^2 − 12x + 24 = (x − (6 + 2√3))(x − (6 − 2√3))
• Ответ в рациональном виде: не разлагается на множители с целыми коэффициентами (существуют вещественные корни 6 ± 2√3).

ж) 2x^2 − 5x + 3

• Шаг 1: разложение по методом ac или поиск двух чисел, произведение a·c = 2·3 = 6 и сумма b = −5: −2 и −3 2x^2 − 2x − 3x + 3
• Шаг 2: группировка: (2x^2 − 2x) + (−3x + 3) = 2x(x − 1) − 3(x − 1) = (2x − 3)(x − 1)
• Ответ: (2x − 3)(x − 1)

б) 5x^2 + 10x − 15

• Шаг 1: вынести общий множитель 5: 5(x^2 + 2x − 3)
• Шаг 2: разложить x^2 + 2x − 3: числа 3 и −1 дают сумму 2 и произведение −3 x^2 + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)
• Ответ: 5(x + 3)(x − 1)

д) −y^2 + 16y − 15

• Шаг 1: вынести −1: −(y^2 − 16y + 15)
• Шаг 2: разложить y^2 − 16y + 15: числа 1 и 15 дают сумму 16 y^2 − 16y + 15 = (y − 1)(y − 15)
• Ответ: −(y − 1)(y − 15) = (1 − y)(y − 15)

3. 5y + 2y − 3

• Комментарий: это линейное выражение, а не квадртран/квадратный тричлен. Разложение как квадратного трёхчлена не применяется.
• Если же ошибка перепутана и имелось в виду 5y^2 + 2y − 3, то разложение будет: 5y^2 + 2y − 3 = (5y − 3)(y + 1)
• Но для данного исх. варианта 5y + 2y − 3 = 7y − 3 не имеет разложения в виде произведения квадратных множителей.

b) 5x^2 + 5x + 5

• Шаг 1: вынести общий множитель 5: 5(x^2 + x + 1)
• Шаг 2: проверить дискриминант x^2 + x + 1: D = 1 − 4 = −3 < 0, действительных корней нет
• Ответ: 5(x^2 + x + 1) — irreducible над рациональными числами (нет линейных множителей с рациональными коэффициентами)

е) −x^2 − 8x + 9

• Шаг 1: вынести −1: −(x^2 + 8x − 9)
• Шаг 2: разложить x^2 + 8x − 9: числа 9 и −1 дают сумму 8 x^2 + 8x − 9 = (x + 9)(x − 1)
• Ответ: −(x + 9)(x − 1) = (1 − x)(x + 9)

и) −2x^2 + 5x + 7

• Шаг 1: вынести −1: −(2x^2 − 5x − 7)
• Шаг 2: разложить 2x^2 − 5x − 7: дискр. D = (−5)^2 − 4·2·(−7) = 25 + 56 = 81, корни x = (5 ± 9)/4 → x1 = 7/2, x2 = −1
• Соответственно 2x^2 − 5x − 7 = (2x − 7)(x + 1)
• Ответ: −(2x − 7)(x + 1) = (7 − 2x)(x + 1)

Если нужно, могу переписать решение в более компактном виде или привести примеры разложения для других вариантов (например, как действовать при нерешаемых случаях или при разложении над комплексными числами).