реши

Задача: дано два неколлинеарных вектора a и b. Постройте векторы, равные 2a + 3b и 2b + a.

Пояснение: для геометрическойConstruction используйте правило сложения векторов (head-to-tail) и умножение вектора на число (делайте копии вдоль той же направляющей).

Шаги решения (общее описание, без числовых координат):

1. Нарисуйте в начале вектор a как OA и вектор b как OB, так чтобы OA и OB были не коллинеарны (не лежали на одной прямой).

2. Построение 2a:

• По той же направляющей, что OA, от O отложите вектор длины вдвое больше OA.
• Точка A2 на луче OA такая, что OA2 = 2·OA.
• Вектор 2a соответствует OA2.

3. Построение 3b:

• По той же направляющей, что OB, от O отложите длину, равную трём отрезкам OB.
• Точка B3 на луче OB такая, что OB3 = 3·OB.
• Вектор 3b соответствует OB3.

4. Вектор 2a + 3b:

• Возьмите одно копирование вектора 3b, но перенесите его так, чтобы его основание было в точке A2 (путём параллельного переноса копии OB3 вдоль той же направляющей, что OB).
• Получится отрезок A2Q, где AQ параллелен OB и имеет длину OB3.
• Конечная точка Q задаёт вектор OQ, равный 2a + 3b.
• То есть вектор OQ — искомый 2a + 3b.

5. Вектор 2b + a:

• Аналогично: возьмите копию вектора a (OA2? или просто вектор a) и перенесите её с конца вектора 2b.
• В начале используем 2b: от O отложите OB3 как в пункте 3 (это 2b по сути не равно OB3; для 2b можно отложить длину OB два раза. Но удобнее: построить 2b как два отрезка OB подряд, на луче OB, получая точку B2 с OB2 = 2·OB).
• Затем из конца 2b (точка B2) проведите копию вектора a вдоль направления OA.
• Конечная точка S задаёт вектор OS, который равен 2b + a.

Кратко резюмируя:

• 2a + 3b строится как цепочка: начать в O, пройти до A2 по направлению a (два раза длину a), затем из A2 провести копию вектора 3b в том же направлении, получив итоговую точку Q. ОQ = 2a + 3b.
• 2b + a строится как цепочка: начать в O до точки B2 по направлению b (вдвое длиннее b), затем из B2 провести копию вектора a (в направлении a). ОС = 2b + a.

Дополнительная наглядность (пример с числами):

• Пусть a = (1, 0), b = (0, 1) (они не коллинеарны).
• Тогда 2a + 3b = 2(1,0) + 3(0,1) = (2, 3).
• И 2b + a = 2(0,1) + (1,0) = (1, 4).
• Эти два вектора не коллинеарны и их можно нарисовать как концы точек Q = (2,3) и S = (1,4) от начала координат.

Почему это работает:

• Умножение вектора на число реализуется как копирование в ту же сторону с увеличением длины (удвоение для 2a, утроение для 3b и т. д.).
• Сложение векторов осуществляется способом head-to-tail: последовательно складываем два вектора, начало второго — конец первого.
• Так как a и b не коллинеарны, линейные комбинации 2a+3b и 2b+a не совпадают и обычно образуют две ненулевые разнонаправленные вектора.

Если хотите, могу дать конкретный пошаговый чертёж в виде инструкций под ваш лист бумаги или привести еще одну числовую приму с произвольными координатами a и b.