6. y = sqrt(x ^ 2 + 1) 7. y = cos^2 (2x) 8. y = 1/(x ^ 2 + 4) 9. y = 3 ^ (2x) 10. y = arctg(21)

Ниже подробное решение и объяснения для заданий 6–10. Так как параметры предмета и класса не указаны, подход сохранён для средней школы и ориентирован на понимание свойств функций, их домена, диапазона значений и поведения графиков. По желанию могу дополнительно привести графики или примеры значений.

6. y = sqrt(x^2 + 1)

• Домен (область определения): внутри корня x^2 + 1 всегда положительно (минимум 1), поэтому домен — вся числовая ось R.
• Значение y: y ≥ 1, так как x^2 ≥ 0 и sqrt(x^2 + 1) ≥ sqrt(1) = 1.
• Поведение: минимум функции в точке x = 0, где y = 1; функция симметрична относительно оси y (y(-x) = y(x)).
• Производная: dy/dx = x / sqrt(x^2 + 1).
  • Знак производной: отрицателен на x < 0, положителен на x > 0, равна 0 при x = 0.
  • Следствие: функция уменьшается на (-∞, 0], возрастает на [0, ∞). По мере |x| возрастает примерно как |x|.
• Пример значений: x = 0 → y = 1; x = 1 → y = sqrt(2) ≈ 1.414.

7. y = cos^2(2x)

• Домен: всюду, т. к. косинус определён для всех x, и возведение в квадрат сохраняет определение.
• Преобразование: y = cos^2(2x) = (1 + cos(4x)) / 2.
• Диапазон значений: от 0 до 1, т. к. квадрат косинуса лежит в [0, 1].
• Период: функция имеет период π (период cos(2x) равен π; квадрат не меняет период).
• Производная: dy/dx = -2 sin(4x).
  • Критические точки: sin(4x) = 0 → x = kπ/4, где k — целое.
  • Значения на этих точках: если k чётное, cos^2(2x) = 1; если k нечётное, cos^2(2x) = 0.
• Примеры: x = 0 → y = 1; x = π/8 → 2x = π/4 → cos^2(π/4) = (√2/2)^2 = 1/2; x = π/4 → 2x = π/2 → y = 0.

8. y = 1/(x^2 + 4)

• Домен: все вещественные x, так как x^2 + 4 > 0.
• Диапазон значений: y ∈ (0, 1/4], так как при x = 0 имеем максимум y = 1/4, а при |x| → ∞ знаменатель растёт без границ, следовательно y → 0 (но никогда не достигает 0).
• Свойства: функция чётная (y(-x) = y(x)); убывает на (0, ∞) и симметрична относительно оси y.
• Производная: dy/dx = -2x / (x^2 + 4)^2.
  • Единичный критический пункт при x = 0, даёт максимум y = 1/4.
• График и асимптоты: горизонтальная асимптота y = 0 при |x| → ∞; максимальное значение в x = 0.
• Примеры: x = 0 → y = 1/4; x = 1 → y = 1/5 = 0.2.

9. y = 3^(2x)

• Модуль записи: 3^(2x) = (3^2)^x = 9^x.
• Домен: все вещественные x.
• Диапазон значений: (0, ∞) (положительные числа).
• Моность: возрастание (база > 1).
• Производная: dy/dx = 3^(2x) * ln 3 * 2 = 2 ln 3 · 3^(2x) > 0 для всех x.
• Точки графика: при x = 0 имеем y = 3^0 = 1; при x = 1 — y = 3^2 = 9; при x = -1 — y = 3^(-2) = 1/9.
• Примечание: можно записывать как y = e^(2x ln 3) — экспоненциальная зависимость от x.

10. y = arctg(21)

• Это не функция от x в смысле зависимости y от переменной x; здесь аргумент арктангенса константный: y = arctan(21) (арктангенс от числа 21).
• Домен: всё множество реальных x (поскольку x не участвует в выражении).
• Диапазон значений: один фиксированный параметр — y = arctan(21). То есть диапазон состоит из одной точки {arctan(21)}.
• Значение: arctan(21) приближённо равно
  • в радианах: примерно 1.5232 рад
  • в градусах: примерно 87.3°
  • точное значение арктангенса не имеет простого алгебраического выражения.
• Производная: если рассматривать как константную функцию: dy/dx = 0.
• Примечание: так как входной аргумент константа, график по оси x — горизонтальная горизонтальная линия на высоте arctan(21).

Если хотите, могу дополнительно привести графики для каждого пункта или рассмотреть другую цель (например, найти пределы, асимптоты, или монотонность на конкретных промежутках).