Медиана БМ треугольника АБЦ является диаметром окружности проходящей через середину отрезка БЦ найдите площадь треугольника АБЦ если радиус окружности описанной около него равен 18
Коротко разберём условие.
Пусть N — середина BC. Так как BM — диаметр окружности, проходящей через N, получаем⟂ BN ⟂ MN (теорема о угле, опирающемся на диаметр). В координатной постановке это даёт, что A лежит на оси x=0, значит AB ⟂ BC и угол B треугольника равен 90°. Therefore M — середина гипотенузы AC и является центром описанной окружности: MB = MA = MC = R.
Дано R = 18, следовательно MB = 18. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой AC длина MB равна половине гипотенузы, и поэтому AB^2 + BC^2 = 4 MB^2 = 4·18^2 = 1296.
Пусть a = AB, b = BC. Тогда a^2 + b^2 = 1296, а площадь S треугольника ABC равна S = (1/2)ab.
При фиксированном a^2 + b^2 произведение ab максимально, когда a = b. Тогда a^2 = b^2 = 1296/2 = 648, т.е. a = b = √648 = 18√2.
И максимальная площадь S_max = (1/2)ab = (1/2)(18√2)(18√2) = 324.
Ответ: площадь треугольника ABC не фиксирована единственным значением, но её максимальное возможное значение равно 324. При этом достигается при равенстве сторон AB = BC = 18√2.
