В прямоугольном треугольнике АВС отметили точку M - середину гипотенузы АВ.
Точка D выбрана на продолжении прямой АС за точку С, а точка Е на отрезке ВС. Точка
N - середина отрезка DE. Оказалось, что MN = AM =7 и CBN = 30°. Найдите DE.
Решение допускает стандартную постановку координат для прямоугольного треугольника ABC (C — вершина прямого угла, AB — гипотенуза).
1) Установим координаты
- C = (0, 0), A = (a, 0) на оси x, B = (0, b) на оси y.
- Тогда M — середина AB: M = (a/2, b/2).
- Так как AM = MB = MC (радиус описанной окружности), AM = AB/2. По условию AM = 7, значит AB = 14, и
a^2 + b^2 = 196.
2) Точки D и E и точка N
- D лежит на продолжении AC за C, значит D = (d, 0) с d < 0.
- E лежит на BC, значит E = (0, e) с 0 ≤ e ≤ b.
- N — середина DE: N = ((d+0)/2, (0+e)/2) = (d/2, e/2).
3) Уравнение MN = 7
MN^2 = (a/2 − d/2)^2 + (b/2 − e/2)^2 = 49,
то есть (a − d)^2 + (b − e)^2 = 196.
Используя a^2 + b^2 = 196, получаем
d^2 + e^2 = 2ad + 2be. (1)
4) Условие ∠CBN = 30°
Векторы: BC = C − B = (0, −b), BN = N − B = (d/2, e/2 − b).
Косинус угла между BC и BN:
cos∠CBN = [BC · BN] / (|BC| |BN|) = (−b)(e/2 − b) / (b|BN|) = (−e/2 + b) / (|BN|/2).
Имеем cos 30° = √3/2, отсюда
(−e + 2b) / sqrt(d^2 + (e − 2b)^2) = √3/2.
Отсюда после возведения в квадрат получаем
(2b − e)^2 = 3d^2,
то есть
2b − e = √3 (−d) ⇒ e = 2b + √3 d. (2)
(так как d < 0, здесь сохраняется корректное знамение)
5) Связь между a, b, d
Из (1) и (2):
d^2 + e^2 = 2ad + 2be,
где e = 2b + √3 d. Подставляя и упрощая, получаем
a = 2d + √3 b. (3)
6) Выразим из условия AB = 14
a^2 + b^2 = 196.
Подставляя a из (3):
(2d + √3 b)^2 + b^2 = 196
4d^2 + 4√3 b d + 3b^2 + b^2 = 196
4(d^2 + √3 b d + b^2) = 196
d^2 + √3 b d + b^2 = 49. (4)
7) Найдем DE
DE^2 = (D − E)^2 = d^2 + e^2.
По (2), e = 2b + √3 d, значит
e^2 = (2b + √3 d)^2 = 4b^2 + 4√3 b d + 3d^2.
Тогда
DE^2 = d^2 + e^2 = d^2 + 4b^2 + 4√3 b d + 3d^2 = 4(b^2 + √3 b d + d^2).
Но из (4) имеем b^2 + √3 b d + d^2 = 49. Следовательно
DE^2 = 4 · 49 = 196 ⇒ DE = 14.
Ответ: DE = 14.
