В прямоугольном треугольнике АВС отметили точку M - середину гипотенузы АВ. Точка D выбрана на продолжении прямой АС за точку С, а точка Е на отрезке ВС. Точка N - середина отрезка DE. Оказалось, что MN = AM = 5 и CBN = 30°. Найдите DE.

Решение 1) Так как треугольник ABC прямоугольный, гипотенуза AB — самая большая сторона. M — середина гипотенузы, значит MA = MB = MC. По условию MN = AM = 5, следовательно радиус окружности, в которой лежат A, B, C, N, равен 5, а AB = 10 и CM = 5. 2) Так как N лежит на той же окружности (MN = 5), точки A, B, C, N делят одну окружность с центром M и радиусом 5. Угол CBN виден как вписанный угол на этой окружности, который стягивает дугу CN. Следовательно дуга CN имеет меру 2·30° = 60°, а центральный угол CMN, который опирается на те же радиусы MC и MN, равен 60°. 3) В треугольнике CMN стороны CM = MN = 5 и угол CMN = 60°. По теореме косинусов CN^2 = CM^2 + MN^2 − 2·CM·MN·cos(60°) = 25 + 25 − 2·25·0.5 = 25, значит CN = 5. 4) Расположим координаты: C = (0,0), CA вдоль оси x, CB вдоль оси y. Тогда D = (d,0) на оси x (слева от C), E = (0,e) на оси y. Н — середина DE, значит N = (d/2, e/2). Тогда CN = расстояние от C до N: CN = sqrt[(d/2)^2 + (e/2)^2] = (1/2) sqrt(d^2 + e^2) = DE/2. 5) Из шага 3 CN = 5, следовательно DE/2 = 5, и DE = 10. Ответ: DE = 10.