В параллелограмме авсд диагональ ас в 2 раза больше стороны АД, угол АСВ=100.Найдите острый уго между параллелограмма

Задача: в параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза длиннее стороны AD, угол ACB = 100°. Найдите острый угол между диагоналями. Решение (пошагово): - Пусть A = (0,0), D = (d,0) с d > 0, и B = (x,y). Тогда C = B + D = (x + d, y). - Условие AC = 2 AD даёт длину диагонали: |AC|^2 = (x + d)^2 + y^2 = (2d)^2 = 4d^2. (1) - Условие угла ACB = 100°: Векторы CA = A − C = (−(x + d), −y), CB = B − C = (−d, 0). Косинус угла между CA и CB равен: cos(100°) = (CA · CB) / (|CA||CB|) = [d(x + d)] / (|AC|·d) = (x + d)/|AC|. Так как |AC| = 2d, получаем x + d = 2d cos(100°). Следовательно x = d(2 cos100° − 1). (2) - Из (1) и выражения для x+ d = 2d cos100° найдём y: (x + d)^2 + y^2 = 4d^2 → (2d cos100°)^2 + y^2 = 4d^2 y^2 = 4d^2(1 − cos^2 100°) = 4d^2 sin^2 100° → y = 2d sin100° (берём положительное значение, параллелограмм ориентирован так, что B сверху оси). - Диагональ AC равна вектору (x + d, y) = (2d cos100°, 2d sin100°) = 2d (cos100°, sin100°). Диагональ BD равна D − B = (d − x, −y). Подставим x из (2): d − x = d − d(2 cos100° − 1) = 2d(1 − cos100°), а −y = −2d sin100°. Значит BD = 2d (1 − cos100°, − sin100°). - Найдём косинус угла γ между диагоналями AC и BD: AC · BD = [2d(cos100°, sin100°)] · [2d(1 − cos100°, − sin100°)] = 4d^2 [cos100°(1 − cos100°) − sin^2 100°] = 4d^2 [cos100° − 1]. |AC| = 2d. |BD| = 2d sqrt((1 − cos100°)^2 + sin^2 100°) = 2d sqrt(2(1 − cos100°)). Таким образом, cos γ = (AC · BD) / (|AC||BD|) = [4d^2(cos100° − 1)] / [2d · 2d sqrt{2(1 − cos100°)}] = − sqrt((1 − cos100°)/2). - Используем тождество: (1 − cos θ)/2 = sin^2(θ/2). Тогда cos γ = − sin(100°/2) = − sin 50° = − cos 40°. Значит γ = 140° (ведь cos γ = cos 140°). Угол между диагоналями, который является тупым, равен 140°. Следовательно, искомый острый угол между диагоналями равен 180° − 140° = 40°. Ответ: 40°.