Прямые а и b пересекаются в точке О. Докажите, что9. все прямые, которые пересекают прямую b и проходят через произвольную точку прямой а, отличную от точки О, лежат в одной плоскости.

Задача: Пусть прямые a и b пересекаются в точке O. Докажите, что все прямые, которые пересекают прямую b и проходят через произвольную точку P прямой a, отличную от O, лежат в одной плоскости. Доказательство - Так как прямые a и b пересекаются в точке O, существует единственная плоскость π, которая содержит обе прямые (любые две пересекающиеся прямые находятся в одной плоскости). - Возьмём произвольную точку P на прямой a, причём P ≠ O. - Пусть ℓ — произвольная прямая, которая проходит через P и пересекает прямую b в некоторой точке Q. Тогда Q ∈ b, и P ∈ a. - Так как a ⊂ π и b ⊂ π, получаем P ∈ π и Q ∈ π. Следовательно прямая ℓ = PQ состоит из двух точек P и Q, обеих лежащих в плоскости π. Поэтому ℓ целиком лежит в плоскости π. - Так как для произвольной такой прямой ℓ выполняется ℓ ⊂ π, все эти прямые лежат в одной плоскости π (плоскости, определённой прямыми a и b). Вывод: все прямые, пересекающие b и проходящие через любую фиксированную точку P на a, отличную от O, действительно лежат в одной и той же плоскости π, которая содержит и a, и b.