Прямые а и b пересекаются в точке О. Докажите, что9. все прямые, которые пересекают прямую b и проходят через произвольную точку прямой а, отличную от точки О, лежат в одной…
Прямые а и b пересекаются в точке О. Докажите, что9. все прямые, которые пересекают прямую b и проходят через произвольную точку прямой а, отличную от точки О, лежат в одной плоскости.
Задача: Пусть прямые a и b пересекаются в точке O. Докажите, что все прямые, которые пересекают прямую b и проходят через произвольную точку P прямой a, отличную от O, лежат в одной плоскости.
Доказательство
Так как прямые a и b пересекаются в точке O, существует единственная плоскость π, которая содержит обе прямые (любые две пересекающиеся прямые находятся в одной плоскости).
Возьмём произвольную точку P на прямой a, причём P ≠ O.
Пусть ℓ — произвольная прямая, которая проходит через P и пересекает прямую b в некоторой точке Q. Тогда Q ∈ b, и P ∈ a.
Так как a ⊂ π и b ⊂ π, получаем P ∈ π и Q ∈ π. Следовательно прямая ℓ = PQ состоит из двух точек P и Q, обеих лежащих в плоскости π. Поэтому ℓ целиком лежит в плоскости π.
Так как для произвольной такой прямой ℓ выполняется ℓ ⊂ π, все эти прямые лежат в одной плоскости π (плоскости, определённой прямыми a и b).
Вывод: все прямые, пересекающие b и проходящие через любую фиксированную точку P на a, отличную от O, действительно лежат в одной и той же плоскости π, которая содержит и a, и b.
