Алгебра: Решить неравенства: а) 3+10х<5х-(1-х); б) 2х-3(х+1)>2+х. в) 19-7х<20-3(х-5); г) 5х-2(х-4)≥9х+23. Геометрия: 1. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если…

Ниже подробные решения задач по алгебре и геометрии с пошаговыми объяснениями.

1. Алгебра. Решение неравенств

а) 3 + 10x < 5x - (1 - x)

• Раскроем скобки: 3 + 10x < 5x - 1 + x = 6x - 1
• Перенесём все x в одну сторону: 10x - 6x < -1 - 3 → 4x < -4
• Разделим на положительное число: x < -1

Ответ: x < -1

б) 2x - 3(x + 1) > 2 + x

• Раскроем скобки: 2x - 3x - 3 > 2 + x → -x - 3 > 2 + x
• Перенесём x в одну сторону: -x - x > 2 + 3 → -2x > 5
• Разделим на отрицательное число (меняем знак): x < -5/2

Ответ: x < -5/2

в) 19 - 7x < 20 - 3(x - 5)

• Раскроем скобки: 19 - 7x < 20 - 3x + 15 = 35 - 3x
• Перенесём x и числа: -7x + 3x < 35 - 19 → -4x < 16
• Разделим на отрицательное число: x > -4

Ответ: x > -4

г) 5x - 2(x - 4) ≥ 9x + 23

• Раскроем скобки: 5x - 2x + 8 ≥ 9x + 23 → 3x + 8 ≥ 9x + 23
• Перенесём x и числа: 8 - 23 ≥ 9x - 3x → -15 ≥ 6x
• Разделим на положительное число: x ≤ -15/6 = -5/2

Ответ: x ≤ -5/2

2. Геометрия. Задачи на равнобедренную трапецию

3. Найдите угол A D C равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием BC и боковой стороной AB углы, равные 30° и 50° соответственно.

• Пусть BC и AD — основания; AB и CD — боковые стороны (равнобедренная трапеция: AB = CD; BC ∥ AD).
• По диагонали AC образуются углы: ∠BCA = 30° (между BC и CA) и ∠BAC = 50° (между AB и AC).
• В треугольнике ABC сумме углов равна 180°: ∠ABC = 180° - 30° - 50° = 100°.
• Так как трапеция равнобедренная и основания BC и AD параллельны, углы на одной основе равны: ∠ABC = ∠BCD = 100°.
• Сумма углов вдоль боковой стороны AD равна 180°, значит ∠BAD + ∠ADC = 180°. Но ∠BAD = ∠A = 180° - ∠ABC = 80°.
• Следовательно, ∠ADC = ∠A = 80°.

Ответ: угол ADC = 80°.

2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 66°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ в градусах.

• В равнобедренной трапеции базовые углы на одной базе равны: если один угол равен 66°, то его соседний по одной боковой стороне тоже 66°.
• Противоположные углы на другой базе будут равны и равны 180° - 66° = 114°.
• Больший угол трапеции — 114°.

Ответ: 114°.

3. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 3 и 9.

• Пусть основания трапеции равны b1 = 3 и b2 = 9, боковая сторона (одна из не оснований) равна l = 5.
• Указан угол между боковой стороной и одним основанием равен 30°. Тогда высота трапеции h равна h = l · sin(30°) = 5 · 1/2 = 2.5.
• Площадь трапеции S = (b1 + b2) / 2 · h = (3 + 9) / 2 · 2.5 = 6 · 2.5 = 15.

Ответ: площадь трапеции равна 15 кв. ед.