В четырёхугольнике ABCD отметили середины стороны АВ, ВС и AD – точки М, N и R соответственно, ∠MNR = 70°, ∠NRA = 80°. Расстояние OT точки С до прямой AD равно 12 Найдите отрезок NМ.

Решение. Пусть M – середина AB, N – середина BC, R – середина AD. Дан: ∠MNR = 70°, ∠NRA = 80°, расстояние от точки C до прямой AD равно 12. 1) Отметим свойства средней линии. - В треугольнике ABC точка M — середина AB, точка N — середина BC. Следовательно MN ∥ AC и MN = AC/2. Таким образом NM = AC/2. - В треугольнике BAD точка M — середина AB, точка R — середина AD. Но нам достаточно первое свойство. 2) Связь углов с CAD. - Так как MN ∥ AC, угол ∠MNR равен углу между AC и NR. Значит угол между AC и NR равен 70°. - Так как RA лежит на линии AD, угол ∠NRA равен углу между NR и AD. Значит угол между NR и AD равен 80°. - Следовательно, угол CAD (между CA и AD) равен сумме этих двух углов: CAD = 70° + 80° = 150°. Примечание: здесь предполагаем, что NR лежит между направлениями AC и AD, что соответствует данному конфигурационному положению точек. 3) Связь расстояния от C до AD с AC. - Расстояние от точки C до прямой AD равно длине проекции CA на перпендикуляр к AD, т. е. d(C, AD) = AC · sin(CAD). - Поскольку CAD = 150°, sin(150°) = 1/2. Значит 12 = AC · (1/2) → AC = 24. 4) Найдем NM. - NM = AC/2 (из п.1). Значит NM = 24/2 = 12. Ответ: NM = 12.