изобразите схематически график и перечислите свойства функции: а)y=0,2x²; б)-10x²

Ниже подробное решение: схематический график и свойства для обеих функций.

1. a) y = 0,2 x^2

• Что мы знаем по общей форме y = a x^2 (a ≠ 0):

  • вершина параболы в начале координат: (0, 0)
  • ось симметрии: x = 0
  • направление ветвей: вверх, если a > 0; вниз, если a < 0
  • область определения: все вещественные числа
  • точка пересечения с осями: с осью y в точке (0, 0); с осью x тоже в (0, 0) (единственная корень)
  • значение функции минимальное: при вершине, т.е. y_min = 0; если a > 0, диапазон значений [0, ∞)

• Применение к y = 0,2 x^2:

  • a = 0,2 > 0, значит парабола открывается вверх
  • вершина: (0, 0)
  • ось симметрии: x = 0
  • диапазон значений: [0, ∞)
  • график пологий (меньшее |a| дает «шире» график по сравнению с x^2)
  • несколько характерных точек: (±1, 0,2), (±2, 0,8), (±3, 1,8)

• Схематическое изображение графика (приближенно, в масштабе): y ^ 3 | 2 | * 1 | * * 0 +---------------*--> x -3 -2 -1 0 1 2 3 Здесь вершина в начале координат, парабола открывается вверх, график пологий.

• Основные свойства (кратко):

  • Область определения: all real numbers
  • Область значений: [0, ∞)
  • Вершина: (0, 0)
  • Ось симметрии: x = 0
  • x- и y-пересечения: (0, 0)
  • Наклон и крутизна: небольшая по модулю величина a = 0,2; график шире, чем у y = x^2

2. b) y = -10 x^2

• Что мы знаем по общей форме y = a x^2 (a ≠ 0):

  • вершина параболы в начале координат: (0, 0)
  • ось симметрии: x = 0
  • направление ветвей: вниз, если a < 0
  • область определения: все вещественные числа
  • точка пересечения с осями: y-пересечение в (0, 0); x-пересечение тоже в (0, 0) (единственная корень)
  • диапазон значений: (-∞, 0], так как вершина максимальная точка равна 0
  • график более «куцый» по сравнению с y = x^2, так как |a| велико

• Применение к y = -10 x^2:

  • a = -10 < 0, значит парабола открывается вниз
  • вершина: (0, 0) (максимум)
  • ось симметрии: x = 0
  • диапазон значений: (-∞, 0]
  • характерные точки: x = ±1 → y = -10; x = ±0,5 → y = -2,5
  • наклон/крутизна: очень крутая (большое |a|), график узкий

• Схематическое изображение графика (приближенное): y ^ 0 | * -10 | * * -20 | * * --------------------> x -1 0 1

Здесь вершина в начале координат, парабола направлена вниз и довольно крутая (мало точек в окрестности нуля).

• Основные свойства (кратко):
  • Область определения: all real numbers
  • Область значений: (-∞, 0]
  • Вершина: (0, 0)
  • Ось симметрии: x = 0
  • x- и y-пересечения: (0, 0)
  • Наклон и крутизна: большой коэффициент по модулю a = 10, график узкий

Ключевые выводы:

• Все функции вида y = a x^2 имеют вершину в начале координат и ось симметрии x = 0.
• Знак a определяет направление ветвей: вверх (a > 0) или вниз (a < 0).
• Значение в начале координат всегда равно 0, поэтому y-пересечение и x-пересечение совпадают в точке (0, 0).
• Величина |a| влияет на «крутость» и ширину параболы: маленькое |a| дает wider график; большое |a| — более узкий график.