вдоль оси OX движутся два тела, координаты которых изменяют я согласно законам: х1=4+2t и х2=8-2t. Найти: 1) координату первого тела через 14 секунд после начала движения; 2)…
Вдоль оси OX движутся два тела, координаты которых изменяют я согласно законам: х1=4+2t и х2=8-2t. Найти: 1) координату первого тела через 14 секунд после начала движения; 2) координату точки встречи; 3) в какой момент времени тела встретятся. Задачу решить алгеброически и графически.
Задача решается как алгебраически, так и графически.
Исходные данные: x1(t) = 4 + 2t x2(t) = 8 − 2t t — время, считаем от начала движения (в секундах)
- Координата первого тела через 14 секунд
- Подставим t = 14 в x1(t): x1(14) = 4 + 2·14 = 4 + 28 = 32 Ответ: x1(14) = 32
- Координата точки встречи
- Тело встретится, когда их координаты совпадут: x1 = x2. 4 + 2t = 8 − 2t 4t = 4 t = 1 с
- Координата встречи подставим в любую из формул, например в x1: x = x1(1) = 4 + 2·1 = 6 Ответ: точка встречи имеет координату x = 6 (через 1 секунду).
- В какой момент времени тела встретятся
- Как найдено выше, время встречи t = 1 с. Ответ: они встретятся через 1 секунду после начала движения.
Алгебраическое решение (кратко)
- Найти t из 4 + 2t = 8 − 2t → 4t = 4 → t = 1 с
- Координата встречи: x = 4 + 2·1 = 6
Графическое решение
- Построить две линейные зависимости на плоскости “t — время” по оси абсцисс и “x — координата” по оси ординат: Линия L1: x = 4 + 2t (наклон 2, пересечение оси x в 4) Линия L2: x = 8 − 2t (наклон −2, пересечение оси x в 8)
- Точка пересечения графиков дает решение системы: 4 + 2t = 8 − 2t → t = 1, x = 6
- Интерпретация: пересечение графиков означает момент встречи, координата пересечения — координата встречи.
Итоговые ответы
- x1(14) = 32
- Координата точки встречи x = 6
- Время встречи t = 1 с
Дополнительная подсказка: начальное расстояние между телами равно |8 − 4| = 4 единицы, относительная скорость между ними равна |2 − (−2)| = 4 единицы в секунду, поэтому время встречи равно расстоянию делить на относительную скорость: 4 / 4 = 1 с. Это согласуется с графическим пересечением.
Обсуждение
2 сообщениякак начертить график
Чтобы начертить графики движения тел по данным уравнениям, выполните следующие шаги:
1. Подготовьте координатную сетку
- На горизонтальной оси (ось OX) отложите время \( t \) (в секундах).
- На вертикальной оси (ось OY) отложите координаты \( x \).
Осевой масштаб
- Например, время \( t \) можно отложить от 0 до 14 секунд, а координаты \( x \) — от 0 до 40 (это примерно чуть выше значений, которые мы вычислили).
2. Начертите график для первого тела \( x_1(t) = 4 + 2t \)
- Выберите несколько значений \( t \) (например, 0, 1, 2, 3, ..., 14).
- Подставьте эти значения в уравнение, чтобы найти соответствующие координаты:
- \( t = 0 \): \( x_1(0) = 4 + 2 \cdot 0 = 4 \)
- \( t = 1 \): \( x_1(1) = 4 + 2 \cdot 1 = 6 \)
- \( t = 2 \): \( x_1(2) = 4 + 2 \cdot 2 = 8 \)
- \( t = 3 \): \( x_1(3) = 4 + 2 \cdot 3 = 10 \)
- \( t = 14 \): \( x_1(14) = 32 \)
3. Начертите график для второго тела \( x_2(t) = 8 - 2t \)
- Аналогично выберите несколько значений \( t \) (например, 0, 1, 2, 3, ..., 5).
- Подставьте эти значения в уравнение:
- \( t = 0 \): \( x_2(0) = 8 - 2 \cdot 0 = 8 \)
- \( t = 1 \): \( x_2(1) = 8 - 2 \cdot 1 = 6 \)
- \( t = 2 \): \( x_2(2) = 8 - 2 \cdot 2 = 4 \)
- \( t = 3 \): \( x_2(3) = 8 - 2 \cdot 3 = 2 \)
- \( t = 5 \): \( x_2(5) = 8 - 2 \cdot 5 = -2 \) (невыход за пределы, не заполняйте).
4. Построение точек графиков
- Отложите каждую из найденных координат на графике и проведите линии.
- Для \( x_1(t) \) соедините точки (0, 4), (1, 6), (2, 8), (3, 10), (14, 32).
- Для \( x_2(t) \) соедините точки (0, 8), (1, 6), (2, 4), (3, 2).
5. Найдите точку пересечения графиков
- Точка пересечения графиков \( x_1 \) и \( x_2 \) будет в момент времени \( t = 1 \) и соответствует координате \( x = 6 \).
6. Завершите график
- Обозначьте оси, отметьте точки пересечения и подпишите, что это: "график движения первого тела" и "график движения второго тела".
- Можно добавить стрелки на концах линий, чтобы указать на направление движения.
7. Проверьте полученный график
- Убедитесь, что у вас есть все точки, и линии выглядят корректно.
- Проверка: в момент \( t = 1 \) координаты обоих тел совпадают на уровне 6, это подтверждает встречу тел.
Это основные шаги для создания графика движения тел на плоскости!
