x⁴-4x²+4=0

Задача: x^4 - 4x^2 + 4 = 0

Цель: понять решение подробно и понятно.

Шаг 1. Замена и распознавание как квадрат над квадратом

• Заметим, что выражение можно рассматривать как квадратную по переменной x^2: x^4 - 4x^2 + 4 = (x^2)^2 - 4*(x^2) + 4.
• Обозначим t = x^2. Тогда получаем квадратное уравнение: t^2 - 4t + 4 = 0.

Шаг 2. Решение квадратного уравнения для t

• Разложение: t^2 - 4t + 4 = (t - 2)^2.
• Следовательно, корень двойной кратности: t = 2.

Шаг 3. Возврат к x

• Возводим обратно: x^2 = t = 2.
• Отсюда x = √2 или x = -√2.

Шаг 4. Проверка (по желанию)

• Подстановка в исходное: при x = √2: x^4 - 4x^2 + 4 = (√2)^4 - 4(√2)^2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0.
• Аналогично для x = -√2. Значит решения верны.

Дополнительно замечание:

• Полином можно записать как (x^2 - 2)^2 = 0, что тоже даёт x^2 = 2 и, следовательно, x = ±√2.
• У каждого корня в многочлении x^4 - 4x^2 + 4 квадратMultiplicity 2 (их двойная кратность в факторизации).

Ответ: x = √2 и x = -√2.