скорость при криволинейном движении движение по окружности с постоянной по модулю саоростью

Разберём задачу по шагам: тело движется по окружности радиуса R со скоростью, постоянной по модулю v. Величина скорости (модуль вектора скорости) не меняется, направление скорости меняется, поэтому движение называется равномерным круговым.

1. Обозначения и базовые идеи

• Пусть центр окружности в начале координат. Текущее положение тела задаётся вектором r(t) с длиной R: |r(t)| = R.
• Скорость v(t) — производная от положения: v(t) = dr/dt. По заданию модуль скорости постоянен: |v(t)| = vConstant = v.
• Угловая скорость ω связана с линейной скоростью так: v = R · ω. Отсюда ω = v/R.

2. Положение, скорость и её направление

• В двумерной системе можно записать движение как: r(t) = R (cos(ω t), sin(ω t)).
• Тогда скорость: v(t) = dr/dt = R ω (- sin(ω t), cos(ω t)). Модуль скорости: |v(t)| = R ω = v (что и требовалось).
• Направление скорости в каждый момент — касательно к траектории: она перпендикулярна радиусу в этот момент и направлена по окружности по касательной.

3. Ускорение

• Ускорение — производная скорости: a(t) = dv/dt = R ω^2 (- cos(ω t), - sin(ω t)) = - R ω^2 (cos(ω t), sin(ω t)).
• Заметим, что a(t) пропорционально -r(t): a(t) = - ω^2 r(t).
• Модуль ускорения: |a| = R ω^2 = (v^2) / R.
• Направление ускорения постоянно к центру окружности — это центростремительное (нормальное) ускорение. Тангенциальное ускорение отсутствует, потому что скорость по модулю не меняется.

4. Связанные величины

• ω = v / R (угловая скорость).
• Период обращения T: T = 2π / ω = 2πR / v.
• Частота f: f = 1 / T = ω / (2π) = v / (2π R).
• Векторная форма ускорения: a = - (v^2 / R) û_r, где û_r — единичный радиус-вектор из центра к телу; то есть ускорение направлено в центр.

5. Пример Допустим, R = 4 м, скорость по модулю v = 6 м/с.

• ω = v / R = 6 / 4 = 1.5 rad/s.
• Центростремительное ускорение: |a| = v^2 / R = 36 / 4 = 9 м/с^2.
• Период движения: T = 2πR / v = 2π·4 / 6 ≈ 4.19 с.
• Вектор скорости в момент времени t: v(t) = 6 (- sin(1.5 t), cos(1.5 t)).
• Вектор ускорения в тот же момент: a(t) = -9 (cos(1.5 t), sin(1.5 t)).

6. Вкратце ключевые формулы

• ω = v / R
• v(t) = R ω (- sin(ω t), cos(ω t)), |v| = v
• a(t) = - R ω^2 (cos(ω t), sin(ω t)) = - (v^2 / R) r̂(t) = - ω^2 r(t)
• |a| = v^2 / R
• T = 2πR / v

Если нужно, могу подстановочно разобрать конкретные числа или вывести векторные выражения для любого начального положения (например, начальный угол θ0).