x3 - 3x2 -13x + 15 < 0

Задача: x^3 - 3х^2 - 13х + 15 < 0

Цель: понять метод решения.

Шаг 1. Разложение на множители

• Найдем рациональный корень. Подстановка x = 1 даёт 1 - 3 - 13 + 15 = 0, значит x = 1 — корень.
• Разделим многочлен на (x - 1) и найдём оставшийся квадратный фактор: (x^3 - 3x^2 - 13x + 15) : (x - 1) = x^2 - 2x - 15.
• Разложим квадратный фактор: x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3).

Итак, полный разложение: f(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15 = (x - 1)(x - 5)(x + 3).

Шаг 2. Анализ знака произведения Неравенство f(x) < 0 эквивалентно (x - 1)(x - 5)(x + 3) < 0.

Ключевые точки: -3, 1, 5. Разделим числовую ось на интервалы: (-∞, -3), (-3, 1), (1, 5), (5, ∞)

Определим знак произведения в каждом интервале (проверяем один тестовый x в каждом интервале):

• x < -3: возьмём x = -4 → (минус)·(минус)·(минус) = минус. Значит f(x) < 0 на (-∞, -3).
• -3 < x < 1: возьмём x = 0 → (минус)·(минус)·(плюс) = плюс. f(x) > 0 на (-3, 1).
• 1 < x < 5: возьмём x = 2 → (плюс)·(минус)·(плюс) = минус. f(x) < 0 на (1, 5).
• x > 5: возьмём x = 6 → (плюс)·(плюс)·(плюс) = плюс. f(x) > 0 на (5, ∞).

Шаг 3. Ответ Неравенство строгое, поэтому точки корней не включаем. Объединяем интервалы, где f(x) < 0: x ∈ (-∞, -3) ∪ (1, 5)

Проверочные примеры (для закрепления):

• x = -4: f(-4) < 0.
• x = 0: f(0) = 15 > 0.
• x = 2: f(2) = -15 < 0.
• x = 6: f(6) > 0.

Итого: решение неравенства — (-∞, -3) ∪ (1, 5).