(x-2)(x+1)(x-5)2 ≤ 0

Спасибо. Есть две возможные трактовки из-за того, как записано "...)(x-5)2 ≤ 0":

• Вариант A: (x-2)(x+1)(x-5)^2 ≤ 0
• Вариант B: 2·(x-2)(x+1)(x-5) ≤ 0 (то есть просто умножение на положительную константу 2)

Ниже подробные решения для каждого варианта.

Вариант A: (x-2)(x+1)(x-5)^2 ≤ 0

• Свойства: (x-5)^2 ≥ 0 и равно 0 при x = 5. Остальные множители нормальны.
• Ищем точки нуля: x = -1, x = 2, x = 5. При x ≠ 5 имеем (x-5)^2 > 0, поэтому знак произведения определяется знаком (x-2)(x+1).
• Решаем неравенство для x ≠ 5: (x-2)(x+1) ≤ 0.
  • Нули: x = -1 и x = 2.
  • Интервал знаков: между -1 и 2 произведение ≤ 0.
  • Таким образом, (-1 ≤ x ≤ 2) удовлетворяет неравенству (для части с x ≠ 5).
• В точке x = 5 получаем P(5) = (5-2)(5+1)(0) = 0, то есть неравенство выполняется и в x = 5.
• Итог: решение в форме объединения интервалов и отдельной точки: [-1, 2] ∪ {5}.

Пояснение по знакам:

• На промежутках −∞ < x < −1 и 2 < x < 5 знак произведения отрицателен только для части с (x-2)(x+1) ≤ 0, а вокруг x = 5 знак становится положительным, но в точке x = 5 произведение равно 0. Поэтому 5 — отдельная точка в решении.

Вариант B: 2·(x-2)(x+1)(x-5) ≤ 0

• Так как 2 > 0, неравенство эквивалентно (x-2)(x+1)(x-5) ≤ 0.
• Точки нуля: x = -1, 2, 5.
• Анализ знаков: ведущий коэффициент положительный, поэтому знак правой части по интервалам (-∞, -1], [-1, 2], [2, 5], [5, ∞) чередуется:
  • x < -1: отрицательно
  • -1 < x < 2: положительно
  • 2 < x < 5: отрицательно
  • x > 5: положительно
• Неравенство ≤ 0 требует отрицательных значений или нулей, т.е.: (-∞, -1] ∪ [2, 5]
• Включены точки -1, 2, 5, так как в них произведение равно нулю.

Итог по варианту B: (-∞, -1] ∪ [2, 5].

Как понять, какой вариант верен для вашей задачи:

• Если после скобки стоит просто 2 как множитель, то это Вариант B.
• Если 2 стоит как верхний индекс к последнему множителю и следует именно квадрат, то это Вариант A.

Сообщите, какой именно вид выражения в задаче, и я сверю решение под ваш вариант или перепишу решение под нужный формат. Если хотите, могу привести ещё один короткий тестовый пример для проверки махи знаков.