Перед своей загадочной кончиной старый граф Факторел спрятал семейное состояние за кодовой дверью. Чтобы открыть её, наследникам предстояло разгадать числовую головоломку. На…

Ниже подробное решение задачи.

• Пусть p — наименьший натуральный делитель N, отличный от 1. Тогда три наименьших делителя, больших единицы, будут равно p, p+8, p+16, и каждое из них должно делить N.

• Так как p и p+8 делятся на N, а gcd(p, p+8) = gcd(p, 8), для любого нечётного p значение gcd(p, 8) равно 1. Аналогично gcd(p, p+16) = gcd(p, 16) тоже равно 1. Значит эти три числа взаимно простые, и чтобы N делило каждое из них, N must быть кратно произведению p(p+8)(p+16).

• Следовательно, N ≥ p(p+8)(p+16) и N ≤ M = 1000.

• Рассмотрим possibilities:

  • Если p = 2, то второй делитель должен быть 10. Но 10 делится на 2×5, значит 5 будет делителем N и меньше 10, что противоречит тем, что 10 — второй по величине делитель после 2. Значит p = 2 невозможно.
  • Пусть p — нечётное простое. Проверим минимальные значения:
    • p = 3: произведение 3·11·19 = 627, что ≤ 1000. Возможно, N кратно 627.
    • p = 5: 5·13·21 = 1365 > 1000, значит для p ≥ 5 произведение уже больше 1000, и таких N не будет. Поэтому единственный годный вариант — p = 3, и N должен быть кратен 3·11·19 = 627.

• Так как N ≤ 1000, кратное 627 единственное число — N = 627.

• Проверка: делители 627 (кроме единицы) — 3, 11, 19, 33, 57, 209, 627. Первые три после единицы: 3, 11, 19 формируют арифметическую прогрессию с шагом 8.

Итак, все подходящие N существует ровно одно: N = 627.

Ответ: 627