Перед своей загадочной кончиной старый граф Факторел спрятал семейное состояние за кодовой дверью. Чтобы открыть её, наследникам предстояло разгадать числовую головоломку. На черной металлической табличке были выгравированы все натуральные делители некоего составного числа N, за исключением единицы. Пока один из юных отпрысков изучал табличку при свете фонаря, он заметил, что три наименьших делителя образуют арифметическую прогрессию с шагом d. Известно, что загадочное число N не превосходит М. Найдите все возможные значения числа N, удовлетворяющие этим условиям. Если таких значений больше одного, запишите их сумму. d = 8 M = 1000 Ваш ответ:

Ниже подробное решение задачи. - Пусть p — наименьший натуральный делитель N, отличный от 1. Тогда три наименьших делителя, больших единицы, будут равно p, p+8, p+16, и каждое из них должно делить N. - Так как p и p+8 делятся на N, а gcd(p, p+8) = gcd(p, 8), для любого нечётного p значение gcd(p, 8) равно 1. Аналогично gcd(p, p+16) = gcd(p, 16) тоже равно 1. Значит эти три числа взаимно простые, и чтобы N делило каждое из них, N must быть кратно произведению p(p+8)(p+16). - Следовательно, N ≥ p(p+8)(p+16) и N ≤ M = 1000. - Рассмотрим possibilities: - Если p = 2, то второй делитель должен быть 10. Но 10 делится на 2×5, значит 5 будет делителем N и меньше 10, что противоречит тем, что 10 — второй по величине делитель после 2. Значит p = 2 невозможно. - Пусть p — нечётное простое. Проверим минимальные значения: - p = 3: произведение 3·11·19 = 627, что ≤ 1000. Возможно, N кратно 627. - p = 5: 5·13·21 = 1365 > 1000, значит для p ≥ 5 произведение уже больше 1000, и таких N не будет. Поэтому единственный годный вариант — p = 3, и N должен быть кратен 3·11·19 = 627. - Так как N ≤ 1000, кратное 627 единственное число — N = 627. - Проверка: делители 627 (кроме единицы) — 3, 11, 19, 33, 57, 209, 627. Первые три после единицы: 3, 11, 19 формируют арифметическую прогрессию с шагом 8. Итак, все подходящие N существует ровно одно: N = 627. Ответ: 627