В сердце ультрасовременного мегаполиса Нео-Астория разветвленная сеть летающих трамваев обеспечивает идеальную связность города. Всего в системе действует М кольцевых маршрутов, и…
В сердце ультрасовременного мегаполиса Нео-Астория разветвленная сеть летающих трамваев обеспечивает идеальную связность города. Всего в системе действует М кольцевых маршрутов, и каждый из них - предмет особой гордости урбанистов. Инженеры заявляют, что сеть построена по выдающемуся принципу: из любой посадочной платформы можно добраться до любой другой без пересадок, сев лишь на один маршрут. Более того, любые два маршрута пересекаются ровно в одной общей платформе, так что при необходимости пересесть с одного кольца на другое можно легко и однозначно. При этом каждый маршрут включает не менее трёх платформ, иначе система была бы уязвима к перегрузкам. Сколько платформ N приходится на каждый из М маршрутов? M = 109893 Ваш ответ:
Ответ: 332 платформ на каждый маршрут.
Пошаговое решение:
- Модель задачи.
- Пусть q — порядок проектируемого плана (финитной плоскости). В таком плане:
- число маршрутов (линий) равно M = q^2 + q + 1;
- на каждом маршруте находится N = q + 1 платформ.
- Применим формулы.
- Согласно заданию, любые две линии пересекаются в одной платформе, и любая пара платформ лежит на хотя бы одном маршруте. Это характеристика конечной проективной плоскости: любая пара линий пересекается в точке, любая пара точек лежит на одной линии. Поэтому можно принять M = q^2 + q + 1 и N = q + 1.
- Найдём q по M.
- Заданное M = 109893. Решаем уравнение q^2 + q + 1 = 109893.
- q^2 + q + (1 − 109893) = 0 → q^2 + q − 109892 = 0.
- Дискриминант Δ = 1 + 4·109892 = 1 + 439568 = 439569.
- sqrt(Δ) = 663 (поскольку 663^2 = 439569).
- q = (−1 + 663)/2 = 662/2 = 331.
- Найдём N.
- N = q + 1 = 331 + 1 = 332.
Проверка:
- M = q^2 + q + 1 = 331^2 + 331 + 1 = 109561 + 331 + 1 = 109893 — верно.
- N = q + 1 = 332 — соответствует ответу.
Итак, на каждый маршрут приходится 332 платформ.
