В сердце ультрасовременного мегаполиса Нео-Астория разветвленная сеть летающих трамваев обеспечивает идеальную связность города. Всего в системе действует М кольцевых маршрутов, и каждый из них - предмет особой гордости урбанистов. Инженеры заявляют, что сеть построена по выдающемуся принципу: из любой посадочной платформы можно добраться до любой другой без пересадок, сев лишь на один маршрут. Более того, любые два маршрута пересекаются ровно в одной общей платформе, так что при необходимости пересесть с одного кольца на другое можно легко и однозначно. При этом каждый маршрут включает не менее трёх платформ, иначе система была бы уязвима к перегрузкам. Сколько платформ N приходится на каждый из М маршрутов? M = 109893 Ваш ответ:

Ответ: 332 платформ на каждый маршрут. Пошаговое решение: 1) Модель задачи. - Пусть q — порядок проектируемого плана (финитной плоскости). В таком плане: - число маршрутов (линий) равно M = q^2 + q + 1; - на каждом маршруте находится N = q + 1 платформ. 2) Применим формулы. - Согласно заданию, любые две линии пересекаются в одной платформе, и любая пара платформ лежит на хотя бы одном маршруте. Это характеристика конечной проективной плоскости: любая пара линий пересекается в точке, любая пара точек лежит на одной линии. Поэтому можно принять M = q^2 + q + 1 и N = q + 1. 3) Найдём q по M. - Заданное M = 109893. Решаем уравнение q^2 + q + 1 = 109893. - q^2 + q + (1 − 109893) = 0 → q^2 + q − 109892 = 0. - Дискриминант Δ = 1 + 4·109892 = 1 + 439568 = 439569. - sqrt(Δ) = 663 (поскольку 663^2 = 439569). - q = (−1 + 663)/2 = 662/2 = 331. 4) Найдём N. - N = q + 1 = 331 + 1 = 332. Проверка: - M = q^2 + q + 1 = 331^2 + 331 + 1 = 109561 + 331 + 1 = 109893 — верно. - N = q + 1 = 332 — соответствует ответу. Итак, на каждый маршрут приходится 332 платформ.