Существует ли два числа, разность которых равна их сумме
Да. Существуют такие пары чисел, и их бесконечно много. Все решения состоят в одном: ровно один из чисел должен быть нулём (или оба нуля).
Пошаговое решение (для общности, рассматриваем разность как модуль разности |a − b|):
Пусть у нас два числа a и b. Условие: разность равна сумме. В большинстве задач это читается как модульная разность: |a − b| = a + b. Поскольку левая часть неотрицательна, правая должна быть неотрицательной, т.е. a + b ≥ 0.
Рассмотрим два случая по тому, какое число больше другого:
- Случай 1: a ≥ b. Тогда |a − b| = a − b. Уравнение становится a − b = a + b. Приводим подобные: −b = b ⇒ b = 0.
- Случай 2: b ≥ a. Тогда |a − b| = b − a. Уравнение становится b − a = a + b. Приводим: −a = a ⇒ a = 0.
Из обоих случаев следует, что хотя бы одно число равно нулю. Таким образом, все решения имеют вид:
- (a, b) = (t, 0) или (0, t) для любого t ∈ ℝ.
Пояснения на случай, если задача трактуется без абсолютного значения разности (обычно пишут просто a − b, где порядок даёт разность):
- Если рассмотреть простую разность a − b = a + b, то получаем −b = b ⇒ b = 0 (при любых a).
- Если же рассмотреть разность в обратном порядке b − a = a + b, то получаем −a = a ⇒ a = 0 (при любых b).
И в любом из вариантов снова получается, что один из чисел должен быть нулём.
Примеры пар, удовлетворяющих условию:
- (7, 0): разность 7 − 0 = 7, сумма 7 + 0 = 7.
- (0, −5): разность 0 − (−5) = 5, сумма 0 + (−5) = −5 — здесь важна аккуратность: если использовать обычную разность без модуля, эта пара не подходит. Но если взять модуль разности |0 − (−5)| = 5 и сумму 0 + (−5) = −5, то по условию неполучится. Поэтому корректно рассматривать именно модуль разности или учитывать порядок. При стандартном определении «разность двух чисел» как модульная разность, корректно: (0, 5) даёт |0 − 5| = 5 и сумма 0 + 5 = 5.
- (0, 3) или (−4, 0) — любые пары, где одно число равно нулю.
Итог:
- Да, такие пары существуют.
- Они все имеют вид либо (t, 0), либо (0, t), где t — любое действительное число.
- Если оба числа не нули — таких пар нет.
