Точка К лежит на стороне АВ, а точка М - на стороне CD параллелограмма ABCD, причём АК = КВ, CM : MD = 2 : 5. а) Выразите вектор КМ через векторы р = АВ и ₫ = АБ. б) Может ли при…

Дано параллелограмм ABCD. Пусть

• p = AB,
• q = AD.

Тогда B = A + p, D = A + q, C = A + p + q.

а) Найдём K и M и затем KM.

• K — середина AB: K = (A + B)/2 = A + p/2.
• M принадлежит CD и CM:MD = 2:5. Учитывая, что C = A + p + q и D = A + q, получаем M = C + (2/7)(D − C) = (A + p + q) + (2/7)(-p) = A + q + (5/7)p.
• KM = M − K = [A + q + (5/7)p] − [A + p/2] = q + (5/7 − 1/2)p = q + (3/14)p.

Итак, KM выражается через p и q как KM = (3/14) AB + AD.

Примечание: в условии вторую векторную величину, которую следовало бы использовать, скорее всего, имели в виду AD (а не AB). Поэтому выражение записано через AB и AD.

б) Можно ли найти такое значение x, чтобы KM = x · CV (то есть параллельно CB)? CB = B − C = p − (p + q) = −q.

Уравнение KM = x CB эквивалентно (3/14) p + q = −x q или (3/14) p + (1 + x) q = 0.

Поскольку p и q линейно независимы в невырожденном параллелограмме, коэффициенты должны быть равны нулю, что невозможно (3/14 ≠ 0). Следовательно, при любом ненулевом угле между сторонами такого x не существует.

Вывод: а) KM = (3/14) AB + AD. б) Нет, для невырожденного параллелограмма такого x не существует ( KM не параллелен CB ). При теоретически degenerate случае AB ∥ AD это могло бы быть возможно, но это уже не параллелограмм.