корень 6х+7=8-х

Задача: корень 6х+7 = 8 − х означает sqrt(6x + 7) = 8 − x.

Пошаговое решение и пояснения

1. Проверка области допустимых значений (чтобы корень и равенство имели смысл)

• Под корнем должно быть неотрицательно: 6x + 7 ≥ 0 → x ≥ −7/6.
• Правая часть должна быть неотрицательной, так как левая часть — неотрицательный корень: 8 − x ≥ 0 → x ≤ 8.
• Следовательно, допустимая область: x ∈ [−7/6, 8].

2. Убираем корень Так как sqrt(6x + 7) = 8 − x, обе стороны неотрицательны на допустимом интервале, можно возвести обе стороны в квадрат: 6x + 7 = (8 − x)².

3. Раскрываем квадрат и приводим к квадратному уравнению (8 − x)² = x² − 16x + 64. Получаем: 6x + 7 = x² − 16x + 64. Переносим всё в одну сторону: 0 = x² − 22x + 57.

4. Решаем квадратное уравнение Дискриминант: D = (−22)² − 4·1·57 = 484 − 228 = 256. Корни: x = [22 ± √256] / 2 = [22 ± 16] / 2.

• x₁ = (22 + 16)/2 = 38/2 = 19
• x₂ = (22 − 16)/2 = 6/2 = 3

5. Проверка корней в допустимой области Из области [−7/6, 8] допустимы только x = 3 (x = 19 выходит за пределы 8).

Проверка в исходном уравнении: sqrt(6·3 + 7) = sqrt(18 + 7) = sqrt(25) = 5, 8 − 3 = 5. Соответствует.

Ответ: единственное решение уравнения x = 3.