известно, что в записи пятой степени натурального числа N используется цифры 1, 5, 6 и 9 - каждая по одному разу, и ещё три восьмёрки. чему может быть равно это число N

Задача звучит так: в записи N^5 используются цифры 1, 5, 6 и 9 по одному разу, и ещё три восьмёрки. Чему может быть равно N?

Пошаговое решение

1. Ограничим последний знак N^5

• Последняя цифра пятой степени равна последней цифре самого числа: a^5 мод 10 ≡ a мод 10. Поэтому последняя цифра N^5 равна последней цифре N.
• Значит N^5 заканчивается на одну из цифр, входящих в данный набор: 1, 5, 6, 9 или 8. Следовательно, последний знак N должен быть 1, 5, 6, 8 или 9.
• Учитывая диапазон N, у которого N^5 остаётся семизначным (совокупно 7 цифр) — это примерно N в диапазоне 16–25 (16^5 = 1 048 576; 25^5 = 9 765 625; 26^5 уже 11 881 376 — восемь цифр).

2. Перебор возможных N с учётом последней цифры Из диапазона 16–25 отбираем те, чья последняя цифра допустима: 16 (ends with 6), 18 (ends with 8), 19 (ends with 9), 21 (ends with 1), 25 (ends with 5). Остальные дают N^5, оканчивающиеся на недопустимые цифры.

3. Вычислим N^5 для каждого кандидата и проверим цифры

• 16^5 = 1 048 576 → в его записи есть нули и цифры 0,4,7 и т. д.; не подходит.
• 18^5 = 1 889 568 → запись 1 8 8 9 5 6 8. Здесь цифры: 1, 9, 5, 6 встречаются по одному разу, а цифра 8 встречается трижды. exactly соответствуют условиям.
• 19^5 = 2 476 099 → есть цифры 2,4,7,6,0,9,9; не подходит.
• 21^5 = 4 084 101 → есть нули и лишние цифры; не подходит.
• 25^5 = 9 765 625 → цифры не совпадают с требуемыми (нет тройки 8 и т. д.).

4. Вывод Единственное число N, для которого N^5 содержит по одному каждому цифру 1, 5, 6 и 9 и три восьмёрки, — N = 18.

Проверка 18^5 = 1 889 568, цифры: 1, 8, 8, 9, 5, 6, 8 — три восьмёрки и по одной каждой цифре 1, 5, 6, 9. Это удовлетворяет условию задачи.