Пояснение и решение задачи.
Дано: точки A и B лежат на плоскости α, точка C не лежит в этой плоскости. Обозначим:
- M – середина отрезка AC,
- N – середина отрезка BC.
Требуется доказать, что прямая MN параллельна плоскости α.
Шаг 1. Выражение в виде векторов
- M = (A + C) / 2
- N = (B + C) / 2
- вектор направления MN: MN = N − M = (B + C)/2 − (A + C)/2 = (B − A) / 2
Так как A и B лежат в плоскости α, вектор AB = B − A лежит в этой плоскости (направление AB параллельно α). Следовательно MN параллелен плоскости α (его направление совпадает с направлением AB, умноженным на 1/2).
Значит, прямая MN параллельна плоскости α.
Шаг 2. Альтернативное доказательство (координатное)
Можно выбрать систему координат так, чтобы плоскость α была задана как z = 0. Пусть:
- A = (x1, y1, 0)
- B = (x2, y2, 0)
- C = (x3, y3, z3) с z3 ≠ 0
Тогда середины:
- M = ((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2, z3/2)
- N = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2, z3/2)
Направляющий вектор прямой MN:
- MN = N − M = ((x2 − x1)/2, (y2 − y1)/2, 0)
Заметим, что z-компонента ноль, значит MN параллелен плоскости z = 0, то есть параллелен α.
Итого: прямая, проходящая через середины AC и BC, параллельна плоскости α.
