точки а и б лежат на плоскости а а точка с не лежит в этой плоскости. докажите что прямая проходящая через середины отрезков ас и бс параллельна плоскости а

Пояснение и решение задачи.

Дано: точки A и B лежат на плоскости α, точка C не лежит в этой плоскости. Обозначим:

• M – середина отрезка AC,
• N – середина отрезка BC.

Требуется доказать, что прямая MN параллельна плоскости α.

Шаг 1. Выражение в виде векторов

• M = (A + C) / 2
• N = (B + C) / 2
• вектор направления MN: MN = N − M = (B + C)/2 − (A + C)/2 = (B − A) / 2

Так как A и B лежат в плоскости α, вектор AB = B − A лежит в этой плоскости (направление AB параллельно α). Следовательно MN параллелен плоскости α (его направление совпадает с направлением AB, умноженным на 1/2).

Значит, прямая MN параллельна плоскости α.

Шаг 2. Альтернативное доказательство (координатное) Можно выбрать систему координат так, чтобы плоскость α была задана как z = 0. Пусть:

• A = (x1, y1, 0)
• B = (x2, y2, 0)
• C = (x3, y3, z3) с z3 ≠ 0

Тогда середины:

• M = ((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2, z3/2)
• N = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2, z3/2)

Направляющий вектор прямой MN:

• MN = N − M = ((x2 − x1)/2, (y2 − y1)/2, 0)

Заметим, что z-компонента ноль, значит MN параллелен плоскости z = 0, то есть параллелен α.

Итого: прямая, проходящая через середины AC и BC, параллельна плоскости α.