Корни приведённого квадратного трёхчлена x квадрат + bx + c натуральные числа, а разность его коэффициентов c - b равна 39.

Решение задачи (пошагово по правилам):

Дано квадратное трёхчлен x^2 + b x + c, корни которого натуральные числа r и s. Тогда:

• сумма корней: r + s = -b
• произведение корней: r s = c

Также дано условие: c − b = 39.

1. Подстановка в условие c − b = rs − (−(r + s)) = rs + r + s = 39.

2. Приведение к произведению Добавим единицу: rs + r + s + 1 = 40, значит (r + 1)(s + 1) = 40.

3. Поиск пар (r, s) r и s — натуральные числа, значит r + 1 ≥ 2, s + 1 ≥ 2. Разложим 40 на два множителя:

• (2, 20) → r = 1, s = 19
• (4, 10) → r = 3, s = 9
• (5, 8) → r = 4, s = 7 Пары дают те же решения при перестановке, разницы в итоге нет.

4. Коэффициенты и соответствующие полиномы Для каждой пары r, s имеем b = −(r + s), c = r s.

• Пара (1, 19): b = −(1+19) = −20, c = 1·19 = 19 → x^2 − 20x + 19
• Пара (3, 9): b = −(3+9) = −12, c = 3·9 = 27 → x^2 − 12x + 27
• Пара (4, 7): b = −(4+7) = −11, c = 4·7 = 28 → x^2 − 11x + 28

5. Проверка (опционально)

• x^2 − 20x + 19 = (x − 1)(x − 19) — корни 1 и 19
• x^2 − 12x + 27 = (x − 3)(x − 9) — корни 3 и 9
• x^2 − 11x + 28 = (x − 4)(x − 7) — корни 4 и 7

Ответ: существуют три варианта квадратного трёхчлена, удовлетворяющие условию:

• x^2 − 20x + 19 (корни 1 и 19)
• x^2 − 12x + 27 (корни 3 и 9)
• x^2 − 11x + 28 (корни 4 и 7)