В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°. Большая боковая сторона и большее основание равны по 20 см. Найдите меньшее основание

Решение задачи по геометрии (8 класс, цель — понять).

Даны:

• прямоугольная трапеция ABCD, где AB и CD — основания (AB длиннее).
• угол при основании AB и боковой стороне BC равен 60° (острый угол в 60°).
• большая боковая сторона и большая база равны 20 см, т.е. BC = 20 см и AB = 20 см.
• нужно найти меньшую базу CD = x.

Шаг 1. Введение обозначений

• Обозначим меньшую базу как x = CD.
• Высота трапеции (левая боковая AD) обозначим h.
• Правую боковую сторону BC остается гипотенузой соответствующего прямого треугольника.

Шаг 2. Связь сторон через угол 60° Точка E — проекция точки C на основание AB (на прямой AB). Тогда BE = AB − CD = 20 − x, и CE = высота h. Треугольник BEC прямоугольный и имеет угол в B равный 60°. Значит, он 30-60-90. Тогда отношение сторон: гипотенуза BC = 2·BE, а противолежащая углу 60° сторона CE = BE·√3. Из условия BC = 20 получаем BE = BC/2 = 10. Следовательно, x = AB − BE = 20 − 10 = 10.

Шаг 3. Проверка через прямоугольный треугольник Из предыдущего BE = 10 и h = CE = BE·√3 = 10√3. Длина BC по теореме Пифагора: BC^2 = BE^2 + CE^2 = 10^2 + (10√3)^2 = 100 + 300 = 400 ⇒ BC = 20, что согласуется с данным.

Ответ: меньшая база CD = 10 см.