По кругу стоят N человек, пронумерованных по часовой стрелке от 1 до N. Первый, третий, пятый и так далее до конца нумерации сказали: «Мой сосед слева — рыцарь». Второй,…

Ответ: 21 и 132.

Обоснование (кратко):

• Пусть T_i = тип человека i (K — рыцарь, L — лжец).
• Непарные говорят: «сосед слева — рыцарь» → если i нечетный, то T_{i+1} = T_i (трудишься — сосед рыцарь; лжец — сосед тоже рыцарь).
• Четные говорят: «сосед слева — лжец» → если i четный, то T_{i+1} = не T_i.
• Таким образом: для нечетных i T_{i+1} = T_i; для четных i T_{i+1} = NOT T_i.
• Отсюда последовательность типов по кругу строится как пары: (x, x), (NOT x, NOT x), (x, x), ... Где x ∈ {K, L}.
• Замкнуть круг можно только если после N шагов T_{N+1} = T_1. Это дает условие:
  • если N = 4k: возможно (T_N = NOT x, и T_{N+1} = NOT T_N = x = T_1);
  • если N = 4k+1: возможно (T_N = x угодно, и T_{N+1} = T_1);
  • N ≡ 2 или 3 (mod 4) невозможно.
• Следовательно, N ≡ 0 или 1 (mod 4).

Проверка вариантов:

• 21 ≡ 1 (mod 4) — возможно.
• 143 ≡ 3 (mod 4) — невозможно.
• 132 ≡ 0 (mod 4) — возможно.
• 54 ≡ 2 (mod 4) — невозможно.

Итак: 21 и 132.