По кругу стоят N человек, пронумерованных по часовой стрелке от 1 до N. Первый, третий, пятый и так далее до конца нумерации сказали: «Мой сосед слева — рыцарь». Второй, четвёртый, шестой и так далее до конца нумерации сказали: «Мой сосед слева — лжец». Чему может быть равно число N? Соседом слева называется следующий по часовой стрелке человек. Выберите все возможные варианты: []21 [143 [132 []54

Ответ: 21 и 132. Обоснование (кратко): - Пусть T_i = тип человека i (K — рыцарь, L — лжец). - Непарные говорят: «сосед слева — рыцарь» → если i нечетный, то T_{i+1} = T_i (трудишься — сосед рыцарь; лжец — сосед тоже рыцарь). - Четные говорят: «сосед слева — лжец» → если i четный, то T_{i+1} = не T_i. - Таким образом: для нечетных i T_{i+1} = T_i; для четных i T_{i+1} = NOT T_i. - Отсюда последовательность типов по кругу строится как пары: (x, x), (NOT x, NOT x), (x, x), ... Где x ∈ {K, L}. - Замкнуть круг можно только если после N шагов T_{N+1} = T_1. Это дает условие: - если N = 4k: возможно (T_N = NOT x, и T_{N+1} = NOT T_N = x = T_1); - если N = 4k+1: возможно (T_N = x угодно, и T_{N+1} = T_1); - N ≡ 2 или 3 (mod 4) невозможно. - Следовательно, N ≡ 0 или 1 (mod 4). Проверка вариантов: - 21 ≡ 1 (mod 4) — возможно. - 143 ≡ 3 (mod 4) — невозможно. - 132 ≡ 0 (mod 4) — возможно. - 54 ≡ 2 (mod 4) — невозможно. Итак: 21 и 132.