B равнобедренной трапеции АВСД с основаниями АД=6 и ВС боковые стороны равны 2 корень из 6 Найдите угол BDC, еcли угол ADB=45.
Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с параллельными основаниями AD и BC. Пусть AD = 6, боковые стороны AB = CD = 2√6. Пусть высота трапеции — h, основание BC имеет длину BC = L.
- Поставим координаты:
- A = (0, 0), D = (6, 0).
- Так как трапеция равнобедренная, середина основания BC совмещена с серединой AD, следовательно, B = (3 − d, h), C = (3 + d, h), где d > 0 и BC = 2d. Тогда BC = 2d и AB = CD = 2√6.
Условия на длину AB: AB^2 = (3 − d)^2 + h^2 = (2√6)^2 = 24 … (1)
Условие по углу ADB = 45°. vectors: DA = A − D = (−6, 0), DB = B − D = ( (3 − d) − 6, h ) = (−3 − d, h). cos ∠ADB = (DA · DB) / (|DA||DB|) = [ (−6,0) · (−3 − d, h) ] / (6 · √((3 + d)^2 + h^2)) = (18 + 6d) / [6 √((3 + d)^2 + h^2)] = (3 + d) / √((3 + d)^2 + h^2).
Так как ∠ADB = 45°, cos = √2/2. Отсюда: (3 + d) / √((3 + d)^2 + h^2) = √2/2 → 2(3 + d)^2 = (3 + d)^2 + h^2 → h^2 = (3 + d)^2 … (2)
- Подставим (2) в (1): AB^2 = (3 − d)^2 + h^2 = (3 − d)^2 + (3 + d)^2 = 24 → [9 − 6d + d^2] + [9 + 6d + d^2] = 24 → 18 + 2d^2 = 24 → d^2 = 3 → d = √3 (положительное, так как BC = 2d > 0).
Тогда высота h по (2): h^2 = (3 + d)^2 = (3 + √3)^2, значит h = 3 + √3.
Получаем длины:
- BC = 2d = 2√3.
- BD: BD^2 = (−3 − d)^2 + h^2 = (3 + d)^2 + h^2 = 2(3 + d)^2 = 2(3 + √3)^2.
- DC^2 = (−3 + d)^2 + h^2 = (d − 3)^2 + h^2 = (3 + d)^2 + (d − 3)^2 = 24 (последнее проверяется подставлением d^2 = 3).
- BD и DC длины: BD = √(2) (3 + d) = √2 (3 + √3), DC = √24 = 2√6.
- BC^2 = (2d)^2 = 12.
- Угол ∠BDC по теореме косинусов в треугольнике BDC: cos ∠BDC = (BD^2 + DC^2 − BC^2) / (2 · BD · DC).
Подстановка: BD^2 = 2(3 + d)^2 = 2(3 + √3)^2, DC^2 = 24, BC^2 = 12.
Вычислим численно или символически: BD^2 + DC^2 − BC^2 = 2(3 + √3)^2 + 24 − 12 = 2(9 + 6√3 + 3) + 12 = 2(12 + 6√3) + 12 = 24 + 12√3 + 12 = 36 + 12√3 = 12(3 + √3).
BD · DC = [√2 (3 + √3)] · [2√6] = 2(3 + √3)√12 = 2(3 + √3) · 2√3 = 4(3 + √3)√3.
Тогда cos ∠BDC = [12(3 + √3)] / [2 · BD · DC] = [12(3 + √3)] / [2 · 4(3 + √3)√3] = 12 / [8√3] = √3 / 2.
Следовательно, ∠BDC = 30°.
Ответ: 30 градусов.
