138. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 12 и 18; 3) 6 и 36; 5) 35 и 18; 2) 24 и 30; 4) 48 и 64; 6) 14, 21 и 28. 149. Докажите, что: 1) числа 945 и 572 взаимно простые; 2)…

Ниже подробные решения к задачам. Я учитываю степень сложности для средней школы (6-й класс) и даю понятные шаги.

Задача 138. Найдите наибольший общий делитель (НОД)

1. 12 и 18

• 18 = 12 × 1 + 6
• 12 = 6 × 2 + 0
• НОД = 6

2. 24 и 30

• 30 = 24 × 1 + 6
• 24 = 6 × 4 + 0
• НОД = 6

3. 6 и 36

• 36 = 6 × 6 + 0
• НОД = 6

4. 48 и 64

• 64 = 48 × 1 + 16
• 48 = 16 × 3 + 0
• НОД = 16

5. 35 и 18

• 35 = 18 × 1 + 17
• 18 = 17 × 1 + 1
• 17 = 1 × 17 + 0
• НОД = 1

6. 14, 21 и 28

• НОД(14, 21) = 7
• Затем НОД(7, 28) = 7
• НОД = 7

Задача 149. Докажите, что:

1. числа 945 и 572 взаимно простые

• Применяем алгоритм Евклида:
  • 945 = 572 × 1 + 373
  • 572 = 373 × 1 + 199
  • 373 = 199 × 1 + 174
  • 199 = 174 × 1 + 25
  • 174 = 25 × 6 + 24
  • 25 = 24 × 1 + 1
  • 24 = 1 × 24 + 0
• Последняя ненулевая остатка — 1, следовательно НОД(945, 572) = 1.
• Значит числа взаимно простые.

2. числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми

• Применяем Евклид:
  • 1095 = 738 × 1 + 357
  • 738 = 357 × 2 + 24
  • 357 = 24 × 14 + 21
  • 24 = 21 × 1 + 3
  • 21 = 3 × 7 + 0
• НОД(1095, 738) = 3 (последний ненулевой остаток перед нулём). Значит они не взаимно простые.

Задача 146. Запишите все правильные дроби со знаменателем 15, у которых числитель и знаменатель взаимно простые

Правильная дробь имеет числитель меньше знаменателя и числитель взаимно прост с 15.

• Факторизация 15: 15 = 3 × 5. Числитель должен быть не кратен 3 и не кратен 5.
• Числители от 1 до 14, исключая кратные 3 и 5:
  • 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14
• Следовательно, все такие дроби:
  • 1/15, 2/15, 4/15, 7/15, 8/15, 11/15, 13/15, 14/15

Задача 147. Запишите все неправильные дроби с числителем 16, у которых числитель и знаменатель взаимно простые

Неправильная дробь: числитель ≥ знаменателю. Числитель фиксирован: 16.

• Деноминаторы должны быть положительными и делиться на то, что даёт НОД(16, d) = 1.
• Число 16 имеет простые множители только 2; значит знаменатель d должен быть нечетным и не делиться на 2.
• Кроме того, чтобы дробь была неправильной, нужно d ≤ 16.
• Все такие d: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
• Соответствующие дроби: 16/1, 16/3, 16/5, 16/7, 16/9, 16/11, 16/13, 16/15.

Если нужна дополнительная помощь или другое задание, скажи — помогу разобрать подробнее.