138. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 12 и 18;
3) 6 и 36;
5) 35 и 18;
2) 24 и 30;
4) 48 и 64;
6) 14, 21 и 28.
149. Докажите, что:
1) числа 945 и 572 взаимно простые;
2) числа 1 095 и 738 не являются взаимно простыми.
146. Запишите все правильные дроби со знаменателем 15, у которых чис литель и знаменатель взаимно простые числа.
147. Запишите все неправильные дроби с числителем 16, у которых чис литель и знаменатель взаимно простые числа
Ниже подробные решения к задачам. Я учитываю степень сложности для средней школы (6-й класс) и даю понятные шаги.
Задача 138. Найдите наибольший общий делитель (НОД)
1) 12 и 18
- 18 = 12 × 1 + 6
- 12 = 6 × 2 + 0
- НОД = 6
2) 24 и 30
- 30 = 24 × 1 + 6
- 24 = 6 × 4 + 0
- НОД = 6
3) 6 и 36
- 36 = 6 × 6 + 0
- НОД = 6
4) 48 и 64
- 64 = 48 × 1 + 16
- 48 = 16 × 3 + 0
- НОД = 16
5) 35 и 18
- 35 = 18 × 1 + 17
- 18 = 17 × 1 + 1
- 17 = 1 × 17 + 0
- НОД = 1
6) 14, 21 и 28
- НОД(14, 21) = 7
- Затем НОД(7, 28) = 7
- НОД = 7
Задача 149. Докажите, что:
1) числа 945 и 572 взаимно простые
- Применяем алгоритм Евклида:
- 945 = 572 × 1 + 373
- 572 = 373 × 1 + 199
- 373 = 199 × 1 + 174
- 199 = 174 × 1 + 25
- 174 = 25 × 6 + 24
- 25 = 24 × 1 + 1
- 24 = 1 × 24 + 0
- Последняя ненулевая остатка — 1, следовательно НОД(945, 572) = 1.
- Значит числа взаимно простые.
2) числа 1095 и 738 не являются взаимно простыми
- Применяем Евклид:
- 1095 = 738 × 1 + 357
- 738 = 357 × 2 + 24
- 357 = 24 × 14 + 21
- 24 = 21 × 1 + 3
- 21 = 3 × 7 + 0
- НОД(1095, 738) = 3 (последний ненулевой остаток перед нулём). Значит они не взаимно простые.
Задача 146. Запишите все правильные дроби со знаменателем 15, у которых числитель и знаменатель взаимно простые
Правильная дробь имеет числитель меньше знаменателя и числитель взаимно прост с 15.
- Факторизация 15: 15 = 3 × 5. Числитель должен быть не кратен 3 и не кратен 5.
- Числители от 1 до 14, исключая кратные 3 и 5:
- 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14
- Следовательно, все такие дроби:
- 1/15, 2/15, 4/15, 7/15, 8/15, 11/15, 13/15, 14/15
Задача 147. Запишите все неправильные дроби с числителем 16, у которых числитель и знаменатель взаимно простые
Неправильная дробь: числитель ≥ знаменателю. Числитель фиксирован: 16.
- Деноминаторы должны быть положительными и делиться на то, что даёт НОД(16, d) = 1.
- Число 16 имеет простые множители только 2; значит знаменатель d должен быть нечетным и не делиться на 2.
- Кроме того, чтобы дробь была неправильной, нужно d ≤ 16.
- Все такие d: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
- Соответствующие дроби: 16/1, 16/3, 16/5, 16/7, 16/9, 16/11, 16/13, 16/15.
Если нужна дополнительная помощь или другое задание, скажи — помогу разобрать подробнее.
