вынести множитель из под знака корня

Ниже подробное объяснение того, как вынести множитель из-под знака корня (обычно квадратного корня). Я дам общую схему и несколько примеров.

Что означает «вынести множитель» из-под корня

• Если корень квадратный: нужно разложить радианс на произведение квадрата на что-то без квадрата. Тогда sqrt(a · b^2) = b · sqrt(a).
• При работе с переменными учитывайте знак: для переменных под корнем часто встречается sqrt(x^2) = |x|. Если вы явно считаете x≥0, можно писать x.
• Общая идея: вынести все квадраты и квадратные множители наружу, оставив под корнем остаток без квадратов.

Как это делать по шагам (для квадратного корня)

1. Разложите число под корнем на множители так, чтобы выделилось как можно больше квадратов.
2. Вынесите эти квадраты за корень как их корни.
3. Останьтесь с тем, что осталось внутри корня, если это не квадрат.

Примеры (числа и с переменными)

Пример 1. sqrt(72)

• 72 = 36 · 2, и 36 — квадрат.
• sqrt(72) = sqrt(36) · sqrt(2) = 6 · sqrt(2).

Пример 2. sqrt(180x^6y^4)

• Разложим по частям: 180 = 36 · 5, x^6 = (x^3)^2, y^4 = (y^2)^2.
• sqrt(180x^6y^4) = sqrt(36) · sqrt(5) · sqrt(x^6) · sqrt(y^4)
• = 6 · x^3 · y^2 · sqrt(5)
• Итог: 6x^3y^2 sqrt(5)

Пример 3. sqrt(12x^2)

• 12x^2 = (4) · (3) · (x^2). Здесь 4 и x^2 дают квадрат.
• sqrt(12x^2) = sqrt(4) · sqrt(x^2) · sqrt(3) = 2 · |x| · sqrt(3)
• Если известно, что x ≥ 0, то это = 2x√3.

Пример 4. sqrt(50x^3) (при условии, что выражение под корнем неотрицательно)

• 50x^3 = (25) · (2) · (x^2) · x = (5x)^2 · (2x)
• sqrt(50x^3) = sqrt((5x)^2) · sqrt(2x) = 5|x| · sqrt(2x)
• Если известно, что x ≥ 0, то это = 5x√(2x).

Пример 5. sqrt(200)

• 200 = 100 · 2
• sqrt(200) = sqrt(100) · sqrt(2) = 10√2.

Как работать с переменными аккуратно

• sqrt(a^2) = |a|. Если предполагается a ≥ 0, можно заменить на a.
• Чтобы вынести максимальный квадратный множитель, ищите квадраты в любом виде: a^2, b^2, и т.д., а не только простые квадраты.
• Если под корнем всё раскладывается на квадраты, то корень полностью извлекается: например sqrt(x^4y^2) = x^2 y sqrt(1) = x^2 y.

Краткая заметка по кубическому корню (для общего понимания)

• Аналогично: если корень кубический, и под ним n = a^3 · b, то cuberoot(n) = a · cuberoot(b).
• Пример: cbrt(54) = cbrt(27 · 2) = 3 · cbrt(2).

Готов привести решение конкретного выражения Если у тебя есть конкретное выражение под корнем, пришли его — пройду по шагам и вынесу множитель с объяснениями.