Задача: проверить, образуют ли векторы af = (2, 2, 6), a3 = (-1, -2, 4) и a4 = (-2, 0, 4) базис в пространстве R^3. Если нет — привести один вектор как линейную комбинацию двух остальных.
- Проверка линейной независимости
Запишем матрицу, составленную из векторов аф, a3, a4 как столбцы:
A = [ [ 2, -1, -2 ],
[ 2, -2, 0 ],
[ 6, 4, 4 ] ]
Найдем детерминант:
det(A) = 2 · det([[-2, 0], [4, 4]]) - (-1) · det([[2, 0], [6, 4]]) + (-2) · det([[2, -2], [6, 4]])
= 2 · ((-2)·4 - 0·4) - (-1) · (2·4 - 0·6) + (-2) · (2·4 - (-2)·6)
= 2 · (-8) + 8 + (-2) · (8 + 12)
= -16 + 8 - 40
= -48.
det(A) = -48 ≠ 0, значит векторы аф, a3, a4 линейно независимы. Они образуют базис пространства R^3.
- Нужно ли представлять один вектор как линейную комбинацию двух других?
Так как три вектора образуют базис, любой вектор из R^3 можно выразить через любую пару только если он лежит в их линейной комбинации, т.е. вspan двух векторов. Но в нашем случае аф не лежит в плоскости, порожденной a3 и a4, так как они линейно независимы и образуют двумерную подпространство, тогда как аф добавляет третью размерность.
Проверим явным образом: можно ли выразить аф через a3 и a4?
Решим α a3 + β a4 = af:
α(-1, -2, 4) + β(-2, 0, 4) = (2, 2, 6)
Система:
-α - 2β = 2
-2α = 2
4α + 4β = 6
Из второго уравнения: α = -1.
Тогда из первого: -(-1) - 2β = 2 → 1 - 2β = 2 → β = -1/2.
Проверяем в третьем: 4α + 4β = 4(-1) + 4(-1/2) = -4 - 2 = -6, что не равно 6. Противоречие.
Следовательно, аф не может быть выражен как линейная комбинация a3 и a4. Аналогично ни один из трёх векторов не лежит в линейной плоскости, порожденной двумя остальными.
Итого:
- Векторы аф, a3 и a4 образуют базис в R^3 (линейно независимы,det ≠ 0).
- Нельзя представить один из них как линейную комбинацию двух других.
